chia hết

#1
gauss2

Đã gửi 18-07-2006 - 16:58

Trung sĩ

Thành viên
195 Bài viết

với a,b nguyên duơng thỏa mãn
$a^{n}-1 \vdots b^{n} -1 \forall n \in N$
CM: $a= b^{k}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietnamesegauss89: 18-07-2006 - 17:28

Mừng 4 năm bạn tham gia Diễn đàn Toán ( Từ: NangLuong )
Chúc mừng gauss2

Hôm nay là tròn 4 năm bạn tham gia Diễn đàn Toán học.

Chúng tôi hy vọng bạn đã có thời gian tham gia Diễn đàn Toán vui & bổ ích.

Mong rằng trong thời gian tới bạn sẽ tiếp tục là một người bạn gắn bó với Diễn đàn Toán học. Ch�...
NangLuong là thành viên của Quản trị và có 2680 bài viết.
Gửi vào: 25 Jul 2009 - 7:00

#2
tanlsth

Đã gửi 19-07-2006 - 09:32

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 Bài viết

Bổ đề: Cho $(u_n) \subset Z ,x_1,..,x_k \in Q, \geq 1,c_1,..,c_k \neq 0$ thỏa mãn
$lim_{n-> \infty }(u_n- \sum\limits_{i=1}^{k} c_ix_i^n )=0$
Khi đó $x_i \in Z$
Trở lại bài toán
Đặt $u_n= \dfrac{a^n-1}{b^n-1} \in Z,x_i= \dfrac{a}{b^i},i=1,..,k ,b^k \leq a<b^{k+1}$
Có $lim_{n-> \infty }(u_n-x_1^n-..-x_k^n)=0$
suy ra $x_i \in Z$ hay $a \vdots b^k$
Đặt $a=cb^k$ suy ra $c=1$

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#3
QUANVU

Đã gửi 19-07-2006 - 11:37

B&S-D

Hiệp sỹ
4378 Bài viết

Chú c/m cái bổ đề kia đi chứ?Hình như có ai đó trong dd mình dùng cái này rồi,nhưng ko nhớ ở đâu nữa?

1728

#4
tanlsth

Đã gửi 19-07-2006 - 17:35

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 Bài viết

Bổ đề trên ta chứng minh bằng qui nạp theo $k$
Với $k=1$ thì đây là bài toán quen thuộc
Giả sử kết quả đúng tới $k-1$
Đặt $S_k(l)= \sum_{1 \leq i-1<..<i_l \leq k}x_{i_1}..x_{i_l},S_k(0)=1$
khi đó $lim_{n-> \infty}( \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^jS_k(j)(u_{n-j}- \sum\limits_{i=1}^{k}c_ix_i^{n-j})=0$
Suy ra $lim_{n-> \infty} \sum\limits_{j=1}^{k-1} (-1)^jS_k(j)u_{n-j}=0$
Mặt khác tồn tại $A \in Z :A \sum\limits_{j=1}^{k-1} (-1)^jS_k(j)u_{n-j} \in Z$
suy ra $\sum\limits_{j=1}^{k-1} (-1)^jS_k(j)u_{n-j}=0$ với $n$ đủ lớn
Theo phương trình sai phân thì tồn tại $r_1,..,r_{k-1}$
sao cho $u_n= \sum\limits_{i=1}^{k-1} r_ix_i^n$
theo giả thiết qui nạp thì $x_i \in Z ,i=1,..,k-1$
khi đó $( \sum\limits_{i=1}^{k-1}(c_i-r_i)x_i^n+c_kx_k^n)=0$
Nếu $x_k \no \in Z$ thì dùng giới hạn suy ra vô lí
Vậy $x_k \in Z$ hay bài toán được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 19-07-2006 - 17:41

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#5
Mr.hoang

Đã gửi 30-07-2006 - 17:44

Binh nhất

Thành viên
24 Bài viết

chắc cái bổ đề trên còn có nhiều ứng dụng nữa!
tanlsh thử nêu các ứng dụng của nó xem?
cảm ơn!

#6
tanlsth

Đã gửi 30-07-2006 - 17:57

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 Bài viết

Theo em cái bổ đề này thường được ứng dụng trong một loạt bài về toán chia hết
Như cái bài này là một ví dụ
Cho $a,b \in N^* ,a^n+n |b^n+n , \forall n \in N$
Cmr $a=b$

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#7
vietnamesegauss89

Đã gửi 02-08-2006 - 16:34

Sĩ quan

Thành viên
348 Bài viết

Bài này ta có thể dùng đa thức như sau:
Lập các đa thức http://dientuvietnam..._0=-1,P_{k 1}(x)=b^{k+1}(x-1)P_k(bx)-a(b^{k+1}x-1)P_k(x)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_k(0)=0

Kiếm phát tùy tâm
Tâm chuyển sát chí

#1 gauss2 Đã gửi 18-07-2006 - 16:58

#2 tanlsth Đã gửi 19-07-2006 - 09:32

#3 QUANVU Đã gửi 19-07-2006 - 11:37

#4 tanlsth Đã gửi 19-07-2006 - 17:35

#5 Mr.hoang Đã gửi 30-07-2006 - 17:44

#6 tanlsth Đã gửi 30-07-2006 - 17:57

#7 vietnamesegauss89 Đã gửi 02-08-2006 - 16:34

0 người đang xem chủ đề

Đăng nhập

#1
gauss2

Đã gửi 18-07-2006 - 16:58

#2
tanlsth

Đã gửi 19-07-2006 - 09:32

#3
QUANVU

Đã gửi 19-07-2006 - 11:37

#4
tanlsth

Đã gửi 19-07-2006 - 17:35

#5
Mr.hoang

Đã gửi 30-07-2006 - 17:44

#6
tanlsth

Đã gửi 30-07-2006 - 17:57

#7
vietnamesegauss89

Đã gửi 02-08-2006 - 16:34