chia hết

#1
gauss2

Posted 18-07-2006 - 16:58

Trung sĩ

Thành viên
195 posts

với a,b nguyên duơng thỏa mãn
$a^{n}-1 \vdots b^{n} -1 \forall n \in N$
CM: $a= b^{k}$

Edited by vietnamesegauss89, 18-07-2006 - 17:28.

Mừng 4 năm bạn tham gia Diễn đàn Toán ( Từ: NangLuong )
Chúc mừng gauss2

Hôm nay là tròn 4 năm bạn tham gia Diễn đàn Toán học.

Chúng tôi hy vọng bạn đã có thời gian tham gia Diễn đàn Toán vui & bổ ích.

Mong rằng trong thời gian tới bạn sẽ tiếp tục là một người bạn gắn bó với Diễn đàn Toán học. Ch�...
NangLuong là thành viên của Quản trị và có 2680 bài viết.
Gửi vào: 25 Jul 2009 - 7:00

#2
tanlsth

Posted 19-07-2006 - 09:32

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 posts

Bổ đề: Cho $(u_n) \subset Z ,x_1,..,x_k \in Q, \geq 1,c_1,..,c_k \neq 0$ thỏa mãn
$lim_{n-> \infty }(u_n- \sum\limits_{i=1}^{k} c_ix_i^n )=0$
Khi đó $x_i \in Z$
Trở lại bài toán
Đặt $u_n= \dfrac{a^n-1}{b^n-1} \in Z,x_i= \dfrac{a}{b^i},i=1,..,k ,b^k \leq a<b^{k+1}$
Có $lim_{n-> \infty }(u_n-x_1^n-..-x_k^n)=0$
suy ra $x_i \in Z$ hay $a \vdots b^k$
Đặt $a=cb^k$ suy ra $c=1$

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#3
QUANVU

Posted 19-07-2006 - 11:37

B&S-D

Hiệp sỹ
4378 posts

Chú c/m cái bổ đề kia đi chứ?Hình như có ai đó trong dd mình dùng cái này rồi,nhưng ko nhớ ở đâu nữa?

1728

#4
tanlsth

Posted 19-07-2006 - 17:35

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 posts

Bổ đề trên ta chứng minh bằng qui nạp theo $k$
Với $k=1$ thì đây là bài toán quen thuộc
Giả sử kết quả đúng tới $k-1$
Đặt $S_k(l)= \sum_{1 \leq i-1<..<i_l \leq k}x_{i_1}..x_{i_l},S_k(0)=1$
khi đó $lim_{n-> \infty}( \sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^jS_k(j)(u_{n-j}- \sum\limits_{i=1}^{k}c_ix_i^{n-j})=0$
Suy ra $lim_{n-> \infty} \sum\limits_{j=1}^{k-1} (-1)^jS_k(j)u_{n-j}=0$
Mặt khác tồn tại $A \in Z :A \sum\limits_{j=1}^{k-1} (-1)^jS_k(j)u_{n-j} \in Z$
suy ra $\sum\limits_{j=1}^{k-1} (-1)^jS_k(j)u_{n-j}=0$ với $n$ đủ lớn
Theo phương trình sai phân thì tồn tại $r_1,..,r_{k-1}$
sao cho $u_n= \sum\limits_{i=1}^{k-1} r_ix_i^n$
theo giả thiết qui nạp thì $x_i \in Z ,i=1,..,k-1$
khi đó $( \sum\limits_{i=1}^{k-1}(c_i-r_i)x_i^n+c_kx_k^n)=0$
Nếu $x_k \no \in Z$ thì dùng giới hạn suy ra vô lí
Vậy $x_k \in Z$ hay bài toán được chứng minh

Edited by tanlsth, 19-07-2006 - 17:41.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#5
Mr.hoang

Posted 30-07-2006 - 17:44

Binh nhất

Thành viên
24 posts

chắc cái bổ đề trên còn có nhiều ứng dụng nữa!
tanlsh thử nêu các ứng dụng của nó xem?
cảm ơn!

#6
tanlsth

Posted 30-07-2006 - 17:57

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 posts

Theo em cái bổ đề này thường được ứng dụng trong một loạt bài về toán chia hết
Như cái bài này là một ví dụ
Cho $a,b \in N^* ,a^n+n |b^n+n , \forall n \in N$
Cmr $a=b$

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#7
vietnamesegauss89

Posted 02-08-2006 - 16:34

Sĩ quan

Thành viên
348 posts

Bài này ta có thể dùng đa thức như sau:
Lập các đa thức http://dientuvietnam..._0=-1,P_{k 1}(x)=b^{k+1}(x-1)P_k(bx)-a(b^{k+1}x-1)P_k(x)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P_k(0)=0

Kiếm phát tùy tâm
Tâm chuyển sát chí

#1 gauss2 Posted 18-07-2006 - 16:58

#2 tanlsth Posted 19-07-2006 - 09:32

#3 QUANVU Posted 19-07-2006 - 11:37

#4 tanlsth Posted 19-07-2006 - 17:35

#5 Mr.hoang Posted 30-07-2006 - 17:44

#6 tanlsth Posted 30-07-2006 - 17:57

#7 vietnamesegauss89 Posted 02-08-2006 - 16:34

1 user(s) are reading this topic

Sign In

#1
gauss2

Posted 18-07-2006 - 16:58

#2
tanlsth

Posted 19-07-2006 - 09:32

#3
QUANVU

Posted 19-07-2006 - 11:37

#4
tanlsth

Posted 19-07-2006 - 17:35

#5
Mr.hoang

Posted 30-07-2006 - 17:44

#6
tanlsth

Posted 30-07-2006 - 17:57

#7
vietnamesegauss89

Posted 02-08-2006 - 16:34