Chủ đề này có 2 trả lời

[ThinhThinh123]

P/s: Làm giúp mình cách ngắn gọn nhất nhé m.n!

[Hero Crab]

BĐT cần cm tương đương với:

$\left ( a+b+c \right )\left ( \sum_{cyc}\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \right )\leqslant 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

$<=>\sum _{cyc}\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$<=>\sum_{cyc}\left(c^{2}-\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\right)\geqslant 0$

$<=>\sum_{cyc}\frac{ac\left(c-a\right)^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\geqslant 0$ (Đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c ^^

[DOTOANNANG]

Không mất tính tổng quát, giả sử $c= \max \left \{ a,\,b,\,c \right \}$. Khi đó:

$\frac{3\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )}{a+ b+ c}- \frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}- \frac{b^{2}+ c^{2}}{b+ c}- \frac{c^{2}+ a^{2}}{c+ a}$ $= \frac{2\,ab\left ( a+ b \right )\left ( a- b \right )^{2}+ \left [ ab\left ( a+ b+ 2\,c \right )+ a\left ( c^{2}- a^{2} \right )+ b\left ( c^{2}- b^{2} \right ) \right ]\left ( a- c \right )\left ( b- c \right )}{\left ( a+ b+ c \right )\left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )}\geqq 0$

[bất đẳng thức Vornicu-Schur!]