57 replies to this topic

[bookworm_vn]

Có bài sau



tạm dịch là chứng minh BĐT trên với http://dientuvietnam...tex.cgi?a,b,c>0 và xét dấu đẳng thức. Có bạn nào đưa ra cách làm ngắn không? đap án khá dài và cồng kềnh tuy ý tưởng không có gì mới.

[zaizai]

anh bookworm_vn đưa bài này có lẽ là không phù hợp lắm đối với box THCS. Bài này thì dùng phương pháp hệ số bất định thôi. Nó qui về chứng minh bất đẳng thức này nè (không biết có nhầm ko nữa):

Nhưng em ko nhớ rõ lắm chắc là nhầm. Nhưng nói thật bài này phải dùng cách đó mới được (khoảng 5 dòng ). Dùng Schur thì tất nhiên là dành cho những ai có sức khỏe thôi

Edited by zaizai, 19-07-2006 - 09:31.

[zaizai]

Hôm nay ngồi nhớ lại
Ta chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức phụ sau:

Hi vọng lời giải này sẽ làm anh thích thú

Edited by zaizai, 20-07-2006 - 16:09.

[math123]

Hi! Mình vừa nghĩ ra một cách, nhưng nhìn rất "điêu". Có lẽ cũng không hay lắm và hơi dài nhưng post để mọi người tham khảo.

Từ hằng đẳng thức http://dientuvietnam...imetex.cgi?(x y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)
Ta suy ra
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2((b+c)^2+a^2)=(a+b+c)^2+(b+c-a)^2
Do đó nếu đặt
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=b+c-a
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y=c+a-b
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?z=a+b-c
Suy ra

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với


Ta có đánh giá sau


Tương tự suy ra








Suy ra đúng hay ta có ĐPCM!
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay a=b=c.

Nhận xét: Cách trên không phải suy nghĩ nhiều tuy nhiên nó quá lỏng, nếu như thay bằng hằng số tốt hơn thì cách này không dùng được nữa. Tuy vậy với các bạn THCS thì việc suy nghĩ bài toán một cách mạch lạc, trong sáng là rất quan trọng, không nên lạm dụng nhiều công cụ phức tạp và kiến thức của các lớp trên.

[CTptnk]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

.................................................................................................
Ta có đánh giá sau

Chào các anh!
Em không định post bài này nhưng quả thật cách giải của anh 123 thật hay và thật sự có những đánh giá rất sắc xảo nên em muốn học hỏi đôi điều, mong anh chỉ giáo.
Trên đây là 2 phần quan trọng nhất của bài toán, phần một thì cách đặt như vậy không lạ nhưng đem đến luồng sinh khí thật sự mới cho phần 2.
Cho em học hỏi phần 2 thôi
Khi thấy tử của phân thức là bình phương thì ta nghĩ ngay đến Svác như anh. Nhưng trớ trêu thay nếu dùng liền nó lại sai chiều bđt mới đau chứ :cry . Vì vậy cách thay như bên dưới quả là quá ám khí:

Ta có đánh giá sau

Anh có thể bật mí cho em đâu là cơ sở để đánh giá quá đẹp như trên không. Thật sự thì nếu nói làm liều mà đúng thì không thể, bởi các hệ số được canh rất chính xác, vậy đâư là công cụ để ta xác định chúng?
Sẵn đâyem pót lên cách trâu của mình:quy đồng, ta có:


BĐT cuối thực sự yếu nên ta dễ dàng dùng cối(cosi), hay schur để bum .
Thật ngại khi giải như trên nhưng nghe zaizai nói về schur nên em làm thử để luyện tay nghề có hỗ trợ của Maple, không ngờ bung ra nó yếu như sên vậy.
Cuối cùng, rất mong anh 123 giải đáp hộ.
bye.
timlaiminh

Edited by bookworm_vn, 06-08-2006 - 13:45.

[math123]

Chào em.
[quote]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{z}{10}

Việc cuối cùng là tính toán cẩn thận và cầu trời . Vì thực ra BDT ban đầu đã được ta làm yếu đi rất nhiều rồi nên không phải lúc nào đánh giá cuối cùng cũng cho ta kết quả mong muốn.
Em hãy tham số hóa bài toán bằng cách thay hệ số của ở mẫu là k. Với cách giải trên ta sẽ tìm được một số k tốt hơn (>1) để đúng. Tuy nhiên nếu muốn tìm hằng số k tốt nhất thì có lẽ không dùng được cách trên, ta phải sử dụng các công cụ mạnh hơn.

[math123]

Tất nhiên có nhiều cách đơn giản hơn.Chẳng hạn muốn Chứng minh ta chuẩn hóa http://dientuvietnam...tex.cgi?x y z=3 sau đó sử dụng BDT

[titikid91yb]

bài 2 đề 24 trong "đề luyện thi môn toán vào lớp 10 trường chuyên "có câu: cmr:

S=
và họ giải là



do đó S<
rõ ràng lời giải trên sai,titi nghi ngờ rằng bài này khó có thể giài được =kiến thức THCS các bạn nghĩ sao?

Edited by titikid91yb, 18-08-2006 - 09:56.

[TIG Messi]

Dùng được chứ, nó chỉ đơn giản là ta làm trội ít phần tử hơn:

Edited by Sir Math, 18-08-2006 - 15:35.

[Prudential112410]

Cho a,b là 2 số tùy ý, a+b 0
CM:

Với n nguyên dương.

[titikid91yb]

này bác TGI messi ơi ,titi chưa hiểu chỗ này,hình như sai thì phải.bác thử kiểm tra lại bằng máy tính xem
với lại"làm trội"là phương pháp như thế nào hả bác,liệu nó có trong chương trình toán THCS không?titi có thể tìm đọc nó ở đâu?

[nguyễn văn thạch]

ok mình cm nhé
với n=1 dễ dàng cm bdt đúng
giả sử bdt đúng đến n=k ta cần cm bdt cũng đúng với n=k+1
thật vậy theo gt quy nạp
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{a^{k}+b^{k}}{2}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{a+b}{2}
đén đây thì dung chebusep

[nguyễn văn thạch]

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n là số nguyên dương
CMR:

thật ra là việc cm bdt

[hoang tuan anh]

này bác TGI messi ơi ,titi chưa hiểu chỗ này,hình như sai thì phải.bác thử kiểm tra lại bằng máy tính xem
với lại"làm trội"là phương pháp như thế nào hả bác,liệu nó có trong chương trình toán THCS không?titi có thể tìm đọc nó ở đâu?

bài toán đó giải đúng rùi anh ah


ta hoàn toàn có thể làm mạnh hơn BDT này bằng cách lấy thêm nhiều số hạng ở đầu rồi đánh giá phần cuối

[TIG Messi]

Ừ đúng đấy nhưng mà nó chỉ mạnh hơn một chút vì mẫu số quá lớn ...

[hoang tuan anh]

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n là số nguyên dương
CMR:

em nghĩ làm thia này


lại có (béc nu li) -->dpcm

Edited by hoang tuan anh, 23-08-2006 - 16:17.

[titikid91yb]

[quote name='TIG Messi' date='August 18, 2006 03:33 pm']

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{n^{2}}
TITI kiểm tra bằng máy tính thấy không đúng!
mà titi mới biết được một điều rất lí thú là:

[hoang tuan anh]

[quote name='titikid91yb' date='August 23, 2006 03:52 pm'][quote name='TIG Messi' date='August 18, 2006 03:33 pm']

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{1}{n^{2}}
TITI kiểm tra bằng máy tính thấy không đúng!
mà titi mới biết được một điều rất lí thú là:
[/quote]
ah, hình như chỗ đó bác SIR MATH có nhầm lẫn thì phải

Edited by hoang tuan anh, 23-08-2006 - 16:01.

[Prudential112410]

Cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n là số nguyên dương
CMR:

em nghĩ làm thia này


lại có (béc nu li) -->dpcm

Bài này bác nào có cách giải khác không?
Cách giải của mình khá dài!

[Prudential112410]

ok mình cm nhé
với n=1 dễ dàng cm bdt đúng
giả sử bdt đúng đến n=k ta cần cm bdt cũng đúng với n=k+1
thật vậy theo gt quy nạp
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{a^{k}+b^{k}}{2}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{a+b}{2}
đén đây thì dung chebusep

Thật ra ngoài cách dùng qui nạp,ta cũng có thể sử dụng đạo hàm để CM!