Giải như sau:
Gọi $2$ chiều của bài toán là $i,ii$. Ta có:
$i)$ Gọi tập tổng thỏa mãn bài toán là $|S+S|$, ta dễ có $|S+S|=S+C_S^{2}=\frac{(S^2+S)}{2}=\frac{m(m+3)}{2}$
$ii)$ Ta xây dựng tập thỏa mãn bài toán với $k$ phần tử có $|S+S|$ phủ hết $1$ đến $\frac{m(m+6)}{4}$ như sau:
TH$1$: $m$ chẵn. Đặt $m=2t$ khi đó tập $S=(1,...,t+1,2(t+1)+1,....t(t+1)+(t-1))$ thỏa mãn
Thật vậy, các số từ $1$ đến $2(t+1)$ được tập $T=(1,...,t+1)$ có $|T+T|$ phủ hết
Tương tự như vậy ta thấy các số từ $1$ tới $t(t+1)+2t$ đều được $|S+S|$ phủ
Lại có $\frac{m(m+6)}{4}=t(t+3)=t(t+1)+2t$ nên ta thấy thỏa mãn ngay
Do $C(m)$ là số nguyên dương $k$ mà $k \geq \frac{m(m+6)}{4}$ (cm trên) nên có ngay ĐPCM
TH$2$: $m$ lẻ. Đặt $m=2t+1$ khi đó tập $S=(1,...,t+1,2(t+1)+1,...,(t+1)(t+1)+t)$ thỏa mãn
Tương tự như trên chú ý rằng $\frac{m(m+6)}{4}=\frac{4t^2+16t+7}{4}=t^2+4t+\frac{7}{4}<(t+1)(t+1)+2t+1=t^2+4t+2$ nên ta có ngay ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 06-10-2018 - 12:28