Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$. Tìm GTNN của $S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$.
Bắt đầu bởi luuvanthai, 15-10-2018 - 21:53
#2
Đã gửi 16-10-2018 - 05:44
tritanngo99
-
- Điều hành viên THPT
-
- 1644 Bài viết
Đại úy
Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$. Tìm GTNN của $S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc: $a^2+b^2+c^2\ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2\text{ và }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$.
Khi đó:
$S\ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2+\frac{9}{a+b+c}=[\frac{1}{3}(a+b+c)^2+\frac{9}{8(a+b+c)}+\frac{9}{8(a+b+c)}]+\frac{27}{4(a+b+c)}$.
$\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}(a+b+c)^2*\frac{9}{8(a+b+c)}*\frac{9}{8(a+b+c)}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{27}{64}}+\frac{9}{2}=\frac{27}{4}$.
Vậy $S_{min}=\frac{27}{4}$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 16-10-2018 - 05:44
- luuvanthai và ThinhThinh123 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
