1 reply to this topic

[luuvanthai]

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$. Tìm GTNN của $S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

[tritanngo99]

Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$. Tìm GTNN của $S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc: $a^2+b^2+c^2\ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2\text{ và }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$.

Khi đó:

$S\ge \frac{1}{3}(a+b+c)^2+\frac{9}{a+b+c}=[\frac{1}{3}(a+b+c)^2+\frac{9}{8(a+b+c)}+\frac{9}{8(a+b+c)}]+\frac{27}{4(a+b+c)}$.

$\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{3}(a+b+c)^2*\frac{9}{8(a+b+c)}*\frac{9}{8(a+b+c)}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{27}{64}}+\frac{9}{2}=\frac{27}{4}$.

Vậy $S_{min}=\frac{27}{4}$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{2}$.

Edited by tritanngo99, 16-10-2018 - 05:44.