Chủ đề này có 1 trả lời

[kiencoam]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+c(\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}})=6$

TÌm GTNN của $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$

[Hr MiSu]

Ta có: $6=2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+c.(\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}}) \geq 4+c.\frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=4+c.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Do đó: $0<c.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\leq 2$

Đặt: $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y$ thì $0<c(x+y)\leq 2$

$P=\frac{cx}{2+cy}+\frac{cy}{2+cx}+\frac{4}{c(x+y)}=c.(\frac{x^2}{2x+cxy}+\frac{y^2}{2y+cxy})+\frac{4}{c(x+y)}$,

$P\geq c. \frac{(x+y)^2}{2(x+y)+2cxy}+\frac{4}{c(x+y)}\geq c. \frac{(x+y)^2}{2(x+y)+c.\frac{(x+y)^2}{2}}+\frac{4}{c(x+y)}$ ,Suy ra

$P\geq 2c. \frac{x+y}{4+c(x+y)}+\frac{4}{c(x+y)}$

Đặt $c(x+y)=t$ thì $0<t\leq 2$.

$P\geq \frac{2t}{4+t}+\frac{4}{t}=\frac{2t}{4+t}+\frac{2}{9}.\frac{4}{t}+\frac{7}{9}.\frac{4}{t}$

Có $\frac{2t}{4+t}+\frac{2}{9}.\frac{4}{t}=\frac{2t}{4+t}+\frac{2}{9}.\frac{4+t}{t}-\frac{2}{9}\geq \frac{4}{3}-\frac{2}{9}$

     $\frac{7}{9}.\frac{4}{t}\geq \frac{7}{9}.2$ do $t\leq 2$

Do đó: $P\geq \frac{4}{3}-\frac{2}{9}+ \frac{7}{9}.2= \frac{2}{3}+2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 13-03-2019 - 23:07