1. Cho 3 số thực a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0. chứng minh:
$\frac{1}{4a^{2}+b^2+c^2}+ \frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}$
2. cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh:
$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{513}$
$2)$ Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2$ bất đẳng thức trở thành:
$$\sum \dfrac{4a^2+b^2+c^2-3a^2}{4a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$$
$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{5}{2}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$$\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)}$$
Đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ bất đẳng thức trở thành:
$$\dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{5}{2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng.
Hoàn tất chứng minh.