Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1+ \sqrt{x+y+3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Scarr

Scarr

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 11-07-2019 - 16:05

Bài 1: Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1+ \sqrt{x+y+3}$

Bài 2: Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ thỏa mãn P(x)= ax3+bx2+cx+d có nghiệm là 3+$2\sqrt{2}$, chứng minh rằng P(x) chia hết cho đa thức Q(x)=x2-6x+1

Bài 3: Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn xy+5y - $\sqrt{4y-1}= \frac{7x}{2} - \sqrt{x+1}$



#2 ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đã gửi 20-09-2022 - 16:28

Bài 1:

Ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y+3}+1\Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y=x+y+3+2\sqrt{x+y+3}+1\Rightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy}-2\Rightarrow x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\Rightarrow \sqrt{xy}=\frac{xy+x+y-1}{4}$

Đến đây, nếu ta giả sử $xy$ không là số chính phương, thì VT sẽ số vô tỉ trong khi VP là số hữu tỉ (vô lí)

Do đó, $xy$ là số chính phương. Đặt $xy=k^2\Rightarrow \sqrt{xy}=k$ (k là số nguyên)

Lại có $x+y+3=xy-4\sqrt{xy}+4\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=xy-2\sqrt{xy}+1\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1$$\Rightarrow \sqrt{y}=k-1-\sqrt{x}\Rightarrow y=(k-1)^2-2(k-1)\sqrt{x}+x\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{(k-1)^2+x-y)}{2(k-1)}$

Đến đây làm tương tự, ta được $x$ là số chính phương. Do đó $y$ cũng là số chính phương.

Đặt $x=a^2,y=b^2$ (a,b là các số nguyên)

Thay vào, ta có $a+b=ab-1$. Đến đây, ta tìm được $(a,b)=(3,2),(a,b)=(2,3)$

Thay vào, ta tìm được $(x,y)=(4,9),(x,y)=(9,4)$  :lol:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh