$\boxed{145}$: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn
$x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$
Bài làm của anh pcoVietnam02 em lụm được:
Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$.
$\Rightarrow 3x^3\geq nx^2y^2z^2\Rightarrow x\geq \frac{ny^2z^2}{3}$
Vì $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\Rightarrow y^3+z^3\vdots x^2\Rightarrow 2y^3\geq y^3+z^3\geq x^2\geq \frac{n^2y^4z^4}{9}$.
Xét 2 TH:
+) z > 1: $\Rightarrow y\leq\frac{18}{16n^2}\Rightarrow y=1$. (vô lí vì $y\geq z$).
+) z = 1: $\Rightarrow y^3+1\geq \frac{n^2y^4}{9}$.
Nếu y = 1 thì $x^3+2=nx^2$.
Suy ra pt có nghiệm duy nhất (x ,y, z, n) = (1;1; 1; 3).
Nếu y > 1 thì $10\geq n^2y$, suy ra $n\leq 3$.
Với n = 1 thì chọn (x, y, z) = (3; 2; 1), thỏa mãn.
Với n = 2 thì y = 2 hoặc y = 1. Thay vào thấy không thỏa mãn.
Với n = 3 thì chọn (x, y, z) = (1; 1; 1), thỏa mãn.
Vậy n = 1 hoặc n = 3.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 22-05-2021 - 10:53