Mình chưa rõ bài này làm thế nào. Mọi người có thể giúp mình được không ạ? Đây là dạng cực trị tại biên.
Cho các số x, y không âm thỏa mãn $x^{3}+y^{3}$ = 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
A = x+y
B = $x^{2}+y^{2}$
Bài này dùng đánh giá trực tiếp luôn cũng được, nhưng mình sẽ đưa bài toán về dạng quen thuộc hơn nhé.
Ta có:
$x^3+y^3=2 \Leftrightarrow \left ( \frac{x}{\sqrt[3]{2}}\right )^3+\left ( \frac{y}{\sqrt[3]{2}}\right )^3=1$
Đặt $\frac{x}{\sqrt[3]{2}}=a; \frac{y}{\sqrt[3]{2}}=b\\ \Rightarrow a^3+b^3=1; A=\sqrt[3]{2} (a+b);B=\sqrt[3]{4} (a^2+b^2)$
Mà $a,b\geq 0 \Rightarrow 0\leq a,b\leq 1 \Rightarrow a \geq a^2 \geq a^3 ;b\geq b^2\geq b^3;$
$\Rightarrow A \geq \sqrt[3]{2}(a^3+b^3)=\sqrt[3]{2};B\geq \sqrt[3]{4} (a^3+b^3)=\sqrt[3]{4}$
Dấu "=" xảy ra $\begin{cases}a,b\in\left \{0;1 \right \} \\a^3+b^3=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=0;y=\sqrt[3]{2} \ hoac \ x=\sqrt[3]{2} ;y=0$