Chủ đề này có 1 trả lời

[hltkhang]

$\textrm{Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn } 2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+c(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2})=6.$

$\textrm{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức } P=\dfrac{bc}{a(2b+c)}+\dfrac{ca}{b(2a+c)}+\dfrac{4ab}{c(a+b)}.$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 20:01

[KietLW9]

$\textrm{Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn } 2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+c(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2})=6.$

$\textrm{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức } P=\dfrac{bc}{a(2b+c)}+\dfrac{ca}{b(2a+c)}+\dfrac{4ab}{c(a+b)}.$

Từ giả thiết suy ra $6=\frac{2(a^2+b^2)}{ab}+\frac{c(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2b^2}\geqslant 4+\frac{ac+bc}{ab}\Rightarrow \frac{ab}{ac+bc}\geqslant \frac{1}{2}$

Ta có: $P+3=\dfrac{bc}{a(2b+c)}+1+\dfrac{ca}{b(2a+c)}+1+\dfrac{4ab}{c(a+b)}+1=\frac{2ab+ac+bc}{2ab+ac}+\frac{2ab+ac+bc}{2ab+bc}+\frac{4ab+bc+ca}{bc+ca}\geqslant \frac{4(2ab+ac+bc)}{4ab+ac+bc}+\frac{4ab+bc+ca}{bc+ca}=2+\left [ \frac{2(ac+bc)}{4ab+ac+bc}+\frac{2(4ab+bc+ca)}{9(ac+bc)} \right ]+\frac{7}{9}+\frac{7}{9}.\frac{4ab}{ac+bc}\geqslant \frac{37}{9}+\frac{7}{9}.\frac{4ab}{ac+bc}\geqslant \frac{17}{3}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{8}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 20:16