Bài 2:
Từ gt$1=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=(a+b+c)(-\frac{1}{2}(a+b+c)^2+\frac{3}{2}P)\rightarrow P=\frac{2}{3}(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{2}(a+b+c)^2)$
Đặt a+b+c=u.Xét$\frac{2}{3}(\frac{1}{u}+\frac{1}{2}u^2)\geq 1\Leftrightarrow (u-1)^2(u+2)\geq 0$(luôn đúng)
Vậy Min P=1.Dấu= khi a+b+c=1
Thật ra bài hai giả thiết $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc=1$ vẫn đúng
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có :$1=\left [ a(a^{2}+bc)+b(b^{2}+ac)+c(c^{2}+ab) \right ]^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2}+c^{2})\left [ a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) \right ]$
Mà $a^{4}+b^4+c^4+a^{2}b^{2}+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2abc(a+b+c)-(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leqslant (a^2+b^2+c^2)^{2}+abc(a+b+c)\leqslant \frac{4}{3}(a^2+b^2+c^2)^{2}$
Do đó $a^2+b^2+c^2\geqslant \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 20:33
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$