Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\leqslant abc$. Tìm GTLN của biểu thức: $T=\sqrt{\frac{a}{6a^2+9}}+\sqrt{\frac{b}{6b^2+9}}+\sqrt{\frac{c}{6c^2+9}}$
P/s: Một bài cũ nhưng cũng khá hay!
Ta chứng minh $T\leq \sqrt{\frac{3}{7}}.$
Thật vậy, sử dụng BĐT C-S và AM-GM:
$$T=\sum_{cyc}{\sqrt{\frac{63a}{(54+9)(6a^{2}+9)}}}\leq \sum_{cyc}{\frac{\sqrt{63a}}{18a+9}}\leq \frac{\sqrt{21}}{18}\sum_{cyc}{\frac{a+3}{2a+1}}.$$
Cần chứng minh $$\frac{a+3}{2a+1}+\frac{b+3}{2b+1}+\frac{c+3}{2c+1}\leq \frac{18}{7},$$
hay $$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\leq \frac{3}{7}.$$
Lại áp dụng BĐT C-S ta có
$$49VT\leq 18\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3=\frac{18(bc+ca+ab)}{abc}+3\leq \frac{18(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}+3\leq 21.$$
$\Rightarrow VT\leq \frac{3}{7}.$
Vậy $T_{max}=\sqrt{\frac{3}{7}}$ khi $a=b=c=3$. $\square$
PS: Vẫn còn cách giải khác cho bài này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 17-05-2021 - 20:43