Chứng minh rằng mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $\mathbb{R}[x]$.
CMR: mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $\mathbb{R}[x]$
#2
Đã gửi 13-06-2021 - 14:45
Theo định lý cơ bản của đại số thì mọi đa thức đều khả quy trên $\mathbb{C}[x]$. Do đó mọi đa thức $P(x)$ trên $\mathbb{R}[x]$ đều có thể viết dưới dạng $a(x-x_1)\ldots (x-x_n)$.
Tiếp theo, chỉ cần chứng minh rằng nếu $P(x)$ nhận $z_0$ phức là nghiệm thì cũng nhận $\overline{z_0}$ là nghiệm (*).
Do đó có thể nhóm các nghiệm phức thành cặp $(z_0; \overline{z_0})$.
Và khi đó chứng minh $(x-z_0)(x-\overline{z_0}) \in \mathbb{R}[x]$. Vậy là xong
Quan trọng là cái nhận xét (*)
- Mr handsome ugly và ChiMiwhh thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 13-06-2021 - 15:26
Theo định lý cơ bản của đại số thì mọi đa thức đều khả quy trên $\mathbb{C}[x]$. Do đó mọi đa thức $P(x)$ trên $\mathbb{R}[x]$ đều có thể viết dưới dạng $a(x-x_1)\ldots (x-x_n)$.
Tiếp theo, chỉ cần chứng minh rằng nếu $P(x)$ nhận $z_0$ phức là nghiệm thì cũng nhận $\overline{z_0}$ là nghiệm (*).
Do đó có thể nhóm các nghiệm phức thành cặp $(z_0; \overline{z_0})$.
Và khi đó chứng minh $(x-z_0)(x-\overline{z_0}) \in \mathbb{R}[x]$. Vậy là xong
Quan trọng là cái nhận xét (*)
$\overline{z_0}$ là gì vậy anh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 13-06-2021 - 15:28
#4
Đã gửi 13-06-2021 - 17:22
$\overline{z_0}$ là gì vậy anh
Gọi là "liên hợp" đó em https://en.wikipedia...mplex_conjugate
Nếu $z_0 = a + bi (a,b \in \mathbb{R}$) thì $\overline{z_0} = a-bi$. Hiểu nôm na là đối xứng của $z_0$ qua trục $Ox$.
- Mr handsome ugly yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh