Giải.
Cho một vector bất kì, giả sử với $\left ( a, b \right )\in\mathbb{R}^{2}.$ Xét $\varphi$ là góc được xác định bởi $\left ( a, b \right )$ và trục $x.$ Ta có độ dài $r= \sqrt{a^{2}+ b^{2}}.$ Khi đó $a= r\cos\varphi, b= r\sin\varphi.$ Giả sử quay vector $\left ( a, b \right )$ quanh gốc tọa độ một góc $\alpha$ ngược theo chiều kim đồng hồ, có được vector $\left ( {a}', {b}' \right )$ thì
$${a}'= r\cos\left ( \varphi+ \alpha \right ), {b}'= r\sin\left ( \varphi+ \alpha \right )$$
Áp dụng công thức cộng, tìm được biểu thức phép quay
$${a}'= r\cos\varphi\cos\alpha- r\sin\varphi\sin\alpha= a\cos\alpha- b\sin\alpha$$
$${b}'= r\sin\varphi\cos\alpha+ r\cos\varphi\sin\alpha= a\sin\alpha+ b\cos\alpha$$
Có được $\begin{pmatrix} {a}'\\ {b}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ chứng tỏ phép quay $\left ( a, b \right )\mapsto\left ( {a}', {b}' \right )$ là một ánh xạ tuyến tính.
Vậy ma trận biểu diễn là $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.$
Áp dụng biểu thức phép quay trên với $\alpha= \frac{\pi}{4}.$ Ta có:
Ảnh của $M\left ( 1, 1 \right )$ là ${M}'\left ( 0, \sqrt{2} \right ).$
Ảnh của $N\left ( 1, 2 \right )$ là ${N}'\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right ).$
Ảnh của $P\left ( 3, 3 \right )$ là ${P}'\left ( 0, 3\sqrt{2} \right ).$