Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, trong đó $a<0<b$ và $b\sqrt[3]{c}\geq \dfrac{3}{8}$.
Chứng minh rằng:
\[ f(\dfrac{1}{\Delta^2})\geq 0\]
với $\Delta=b^2-4ac$.
(Titu Andresscu)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 22-06-2021 - 10:16
Cho $f(x)=ax^2+bx+c$, trong đó $a<0<b$ và $b\sqrt[3]{c}\geq \dfrac{3}{8}$.
Chứng minh rằng:
\[ f(\dfrac{1}{\Delta^2})\geq 0\]
với $\Delta=b^2-4ac$.
(Titu Andresscu)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 22-06-2021 - 10:16
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Đặt $d=-a$, ta viết lại gt: $f(x)=-dx^{2}+bx+c$ ; $b,d>0$ ; $b\sqrt[3]{c}\geq \frac{3}{8}$ ; $\Delta=b^{2}+4cd$
Dễ thấy $c>0$. Vì $\Delta>0$ và $\frac{c}{-d}<0$ nên $f(x)$ có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu $\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2d}<0<\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2d}$
Vẽ bảng biến thiên của $f(x)$ ta thấy đpcm $\Leftrightarrow \frac{1}{\Delta^{2}} \leq \frac{b+\sqrt{\Delta}}{2d}=\frac{\Delta-b^{2}}{2d\left(\sqrt{\Delta}-b\right)}=\frac{2c}{\sqrt{\Delta}-b} \Leftrightarrow 2c\Delta^{2}+b\geq \sqrt{\Delta}$
Bđt trên đúng do: $2c\Delta^{2}+b \geq 2\left(\frac{3}{8b}\right)^{3}\Delta^{2}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3} \geq 4\sqrt[4]{2.\left(\frac{3}{8}\right)^{3}.\frac{1}{3^{3}}.\Delta^{2}}=\sqrt{\Delta}$
Bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b\sqrt[3]{c}=\dfrac{3}{8} \\ 2c\Delta^{2}=\dfrac{b}{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=\dfrac{27}{512b^{3}} \\ a=\dfrac{128b^{5}}{27}\left(1-\dfrac{256b^{2}}{81}\right) \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 26-06-2021 - 12:51
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh