Cho hình vuông tâm $O$ kích thước $9\times9$ được tạo thành từ $81$ ô vuông đơn vị. Hai ô vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở tâm $O$. Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy từ tâm của ô vuông đơn vị đang đứng sang tâm của ô vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để bọ quay trở về tâm $O$ ban đầu sau $4$ bước nhảy ngẫu nhiên.
Tính xác suất để bọ quay trở về tâm hình vuông
#1
Đã gửi 29-07-2021 - 19:41
#2
Đã gửi 29-07-2021 - 21:16
Ký hiệu U, D, L, R lần lượt là bước nhảy lên, xuống, trái, phải của con bọ.Cho hình vuông tâm $O$ kích thước $9\times9$ được tạo thành từ $81$ ô vuông đơn vị. Hai ô vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở tâm $O$. Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy từ tâm của ô vuông đơn vị đang đứng sang tâm của ô vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để bọ quay trở về tâm $O$ ban đầu sau $4$ bước nhảy ngẫu nhiên.
Theo đề bài, con bọ có thể có các "mẫu "(tạm gọi như thế vì mình chưa nghĩ ra tên gọi) sau:
a/ 1U, 1D, 1L, 1R: có $4!=24$ cách nhảy.
b/ 2U, 2D: có $\frac{4!}{2!2!}=6$ cách nhảy
c/ 2L, 2 R: có $\frac{4!}{2!2!}=6$ cách nhảy
Số phần tử không gian mẫu :
$ \Omega= \left \{U, D, L, R \right \} ^4\Rightarrow
\left | \Omega \right |= 4^4 $
XS cần tìm :
$\frac {24+6+6}{256}=\boxed {\frac {9}{64}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 01-08-2021 - 08:51
- perfectstrong, Baoriven, Hoang72 và 1 người khác yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#3
Đã gửi 29-07-2021 - 21:41
Dễ thấy rằng những bước nhảy $L;R$ sẽ không thay đổi tung độ, nên để con bọ quay về vị trí ban đầu thì số bước $U$ phải bằng số bước $D$.
Tương tự, số bước $L$ bằng số bước $R$.
Nếu tổng quát lên $n$ bước nhảy thì bài toán quy về đếm có bao bộ nghiệm nguyên không âm $(u;d;l;r)$ sao cho $u+d+l+r=n$ và $u=d; l=r$
- ChiMiwhh, Hoang72 và Dang Hong Ngoc thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#4
Đã gửi 30-07-2021 - 03:57
Dễ thấy rằng những bước nhảy $L;R$ sẽ không thay đổi tung độ, nên để con bọ quay về vị trí ban đầu thì số bước $U$ phải bằng số bước $D$.
Tương tự, số bước $L$ bằng số bước $R$.
Nếu tổng quát lên $n$ bước nhảy thì bài toán quy về đếm có bao bộ nghiệm nguyên không âm $(u;d;l;r)$ sao cho $u+d+l+r=n$ và $u=d; l=r$
Giải trọn vẹn luôn thì như sau
Với nhận xét trên, ta có:
\[u + d + l + r = n = 2u + 2l\]
Do đó, $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2m \Rightarrow u+l = m$. Bây giờ với mỗi bộ nghiệm nguyên không âm $(u;l)$, ta có số cách nhảy hợp lệ của con bọ là:
\[\frac{{n!}}{{u!d!l!r!}} = \frac{{\left( {2m} \right)!}}{{u{!^2}l{!^2}}}\]
Vậy tổng số số cách nhảy để về vị trí ban đầu sẽ là:
$$\begin{align*} {S_{2m}} & = \sum\limits_{u = 0}^m {\frac{{\left( {2m} \right)!}}{{u{!^2}\left( {m - u} \right){!^2}}}} \\ & = \sum\limits_{u = 0}^m {\frac{{\left( {2m} \right)!}}{{m{!^2}}}{{\left( {\frac{{m!}}{{u!\left( {m - u} \right)!}}} \right)}^2}} \\ & = C_{2m}^m\sum\limits_{u = 0}^m {{{\left( {C_m^u} \right)}^2}} \\ & = {\left( {C_{2m}^m} \right)^2} \end{align*}$$
Đẳng thức ở cuối là dựa trên kết quả nổi tiếng này: $\sum_{k=0}^{n}\left ( C_{n}^{k} \right )^2=C_{2n}^{n}$ (bạn xem qua một post mới đây về cách chứng minh: https://diendantoanh...-chứng-minh-mn/ )
Vậy thì xác suất để con bọ trở về đỉnh gốc $O$ là: \[{P_{2m}} = \frac{{{S_{2m}}}}{{{4^{2m}}}} = \frac{{{{\left( {C_{2m}^m} \right)}^2}}}{{{4^{2m}}}}\]
Thử $m=2 (n=4)$ thì thấy khớp nè
- Dang Hong Ngoc và Nobodyv3 thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#5
Đã gửi 30-07-2021 - 14:00
Do đó, $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2m \Rightarrow u+l = m$. Bây giờ với mỗi bộ nghiệm nguyên không âm $(u;l)$, ta có số cách nhảy hợp lệ của con bọ là:
\[\frac{{n!}}{{u!u!l!l!}} = \frac{{\left( {2m} \right)!}}{{u{!^2}l{!^2}}}\]
Sao $u,l$ bị trùng đến 2 lần vậy anh
#6
Đã gửi 30-07-2021 - 15:24
Sao $u,l$ bị trùng đến 2 lần vậy anh
Đúng ra là $u!d!l!r!$ nhưng $u=d$ và $l=r$ rồi bạn
- Dang Hong Ngoc yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh