Trong hình vuông cạnh bằng $1$, đặt $51$ điểm bất kỳ phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$
Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$
#1
Đã gửi 02-11-2021 - 18:46
#2
Đã gửi 02-11-2021 - 18:53
Trong hình vuông cạnh bằng $1$, đặt $51$ điểm bất kỳ phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$
Gợi ý. Chia hình vuông cạnh $1$ thành $n^{2}$ hình vuông cạnh $\frac{1}{n}$. Chọn $n$ để có ít nhất $3$ điểm nằm trong một hình vuông con và đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó có bán kính nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{7}$.
- perfectstrong yêu thích
#3
Đã gửi 02-11-2021 - 19:55
Chia hình vuông trên thành 25 hình vuông nhỏ hơn có cạnh bằng $\frac{1}{5}$ (Rất dễ dàng bằng cách chia mỗi cạnh hình vuông ra làm 5 phần bằng nhau và mỗi phần bằng $\frac{1}{5}$ sau đó nối lại với nhau ta được 25 hình vuông nhỏ)
Vì có 51 điểm mà chỉ có 25 hình vuông nên chắc chắn sẽ tồn tại ít nhất $[\frac{51}{25}]+1=3$ điểm nằm trong 1 hình vuông
Ta xét đến trường hợp ít nhất là 3 điểm nằm trong hình vuông đó
Thật vậy, đường chéo hình vuông nhỏ bằng: $\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{2}{25}}$
Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 đỉnh của hình vuông là $\sqrt{\frac{1}{50}}<\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}$ do vậy hình vuông sẽ nằm gọn trong đường tròn có tâm trùng với tâm của hình vuông có bán kính là $\frac{1}{7}$. Điều này đồng nghĩ với 3 điểm nằm trong hình vuông cũng sẽ nằm trong hình tròn có bán kính $\frac{1}{7}$ (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 02-11-2021 - 19:56
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#4
Đã gửi 02-11-2021 - 20:50
Thử mở rộng tí xem
Mở rộng 1: Trong hình vuông đơn vị (cạnh có độ dài bằng $1$), lấy bất kỳ $n$ điểm ($n \in \mathbb{N}: n \ge 3$). Biết rằng $3$ điểm bất kỳ trong $n$ điểm này sẽ nằm trong một hình tròn có bán kính $r$. Hỏi GTNN của $r$ là bao nhiêu?
Mở rộng 2: Tương tự mở rộng $1$ nhưng thay $3$ điểm bằng $k$ điểm ($k \le \mathbb{N}: k \le n$).
Mở rộng 3: Tương tự mở rộng $1$ nhưng thay hình vuông đơn vị bằng một đa giác đều có cạnh là $1$, chẳng hạn tam giác đều?
...
- PDF yêu thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh