Chủ đề này có 3 trả lời

[KieranWilson]

Trong hình vuông cạnh bằng $1$, đặt $51$ điểm bất kỳ phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$

[PDF]

Trong hình vuông cạnh bằng $1$, đặt $51$ điểm bất kỳ phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính bằng $\frac{1}{7}$

Gợi ý. Chia hình vuông cạnh $1$ thành $n^{2}$ hình vuông cạnh $\frac{1}{n}$. Chọn $n$ để có ít nhất $3$ điểm nằm trong một hình vuông con và đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó có bán kính nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{7}$.

[KietLW9]

Chia hình vuông trên thành 25 hình vuông nhỏ hơn có cạnh bằng $\frac{1}{5}$ (Rất dễ dàng bằng cách chia mỗi cạnh hình vuông ra làm 5 phần bằng nhau và mỗi phần bằng $\frac{1}{5}$ sau đó nối lại với nhau ta được 25 hình vuông nhỏ)

Vì có 51 điểm mà chỉ có 25 hình vuông nên chắc chắn sẽ tồn tại ít nhất $[\frac{51}{25}]+1=3$ điểm nằm trong 1 hình vuông

Ta xét đến trường hợp ít nhất là 3 điểm nằm trong hình vuông đó 

Thật vậy, đường chéo hình vuông nhỏ bằng: $\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{2}{25}}$

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 đỉnh của hình vuông là $\sqrt{\frac{1}{50}}<\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}$ do vậy hình vuông sẽ nằm gọn trong đường tròn có tâm trùng với tâm của hình vuông có bán kính là $\frac{1}{7}$. Điều này đồng nghĩ với 3 điểm nằm trong hình vuông cũng sẽ nằm trong hình tròn có bán kính $\frac{1}{7}$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 02-11-2021 - 19:56

[perfectstrong]

Thử mở rộng tí xem

Mở rộng 1: Trong hình vuông đơn vị (cạnh có độ dài bằng $1$), lấy bất kỳ $n$ điểm ($n \in \mathbb{N}: n \ge 3$). Biết rằng $3$ điểm bất kỳ trong $n$ điểm này sẽ nằm trong một hình tròn có bán kính $r$. Hỏi GTNN của $r$ là bao nhiêu?

Mở rộng 2: Tương tự mở rộng $1$ nhưng thay $3$ điểm bằng $k$ điểm ($k \le \mathbb{N}: k \le n$).

Mở rộng 3: Tương tự mở rộng $1$ nhưng thay hình vuông đơn vị bằng một đa giác đều có cạnh là $1$, chẳng hạn tam giác đều?

...