Cho các số nguyên dương m, n thỏa mãn $m^3 + n^3 +m \vdots mn$. Chứng minh rằng m là lập phương của một số nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-03-2022 - 02:24
Tiêu đề + LaTeX
Cho các số nguyên dương m, n thỏa mãn $m^3 + n^3 +m \vdots mn$. Chứng minh rằng m là lập phương của một số nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 02-03-2022 - 02:24
Tiêu đề + LaTeX
Cho các số nguyên dương m, n thỏa mãn $m^3 + n^3 +m \vdots mn$. Chứng minh rằng m là lập phương của một số nguyên dương.
Hình như trong link giải sai nhỉ, cho mình xin phép giải lại nhé.
Đặt $d = (m,n) \Rightarrow m=dm_1 ; n =d n_1 ; (m_1,n_1)=1$
Thay vào biểu thức ta được:
$d^3m_1^3 + d^3 n_1^3 + dm_1 \vdots d^2 m_1n_1 \Rightarrow d^2 (m_1^3+n_1^3)+m_1 \vdots dm_1n_1 \\\Rightarrow m_1 \vdots d \Rightarrow m_1=dm_2 \\ \Rightarrow d^4 m_2^3 + dn_1^3 + m_2 \vdots dm_2n_1 \Rightarrow m_2 \vdots d \Rightarrow m_2 = d m_3 \\ \Rightarrow d^6m_3^3 + n_1^3 +m_3 \vdots dm_3n_1 \Rightarrow n_1^3 \vdots m_3$
Do $(m_1,n_1)=1 ; m_1 = d^2 m_3 \Rightarrow (m_3,n_1)=1 \Rightarrow m_3=1 \\ \Rightarrow m = d^3$
cho em hỏi là sao suy ra được m_3 = 1 ạ
Hình như trong link giải sai nhỉ, cho mình xin phép giải lại nhé.
Đặt $d = (m,n) \Rightarrow m=dm_1 ; n =d n_1 ; (m_1,n_1)=1$
Thay vào biểu thức ta được:
$d^3m_1^3 + d^3 n_1^3 + dm_1 \vdots d^2 m_1n_1 \Rightarrow d^2 (m_1^3+n_1^3)+m_1 \vdots dm_1n_1 \\\Rightarrow m_1 \vdots d \Rightarrow m_1=dm_2 \\ \Rightarrow d^4 m_2^3 + dn_1^3 + m_2 \vdots dm_2n_1 \Rightarrow m_2 \vdots d \Rightarrow m_2 = d m_3 \\ \Rightarrow d^6m_3^3 + n_1^3 +m_3 \vdots dm_3n_1 \Rightarrow n_1^3 \vdots m_3$
Do $(m_1,n_1)=1 ; m_1 = d^2 m_3 \Rightarrow (m_3,n_1)=1 \Rightarrow m_3=1 \\ \Rightarrow m = d^3$
cho em hỏi là sao suy ra được $\dpi{300} m_3$ = 1 ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnguyen 0505: 02-03-2022 - 22:09
cho em hỏi là sao suy ra được $\dpi{300} m_3$ = 1 ạ
Tính chất chia hết cơ bản thôi ạ: nếu $ab \vdots c$ Mà a,c nguyên tố cùng nhau thì $b \vdots c$ . Bạn áp dụng liên tục sẽ suy ra $1 \vdots m_3 $
Suy ra $m_3=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh