Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum \frac{x}{z\sqrt{4x^{2}+1}}\geq \frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 chcd

chcd

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

Đã gửi 17-06-2022 - 16:06

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x+y+z=4xyz.

Chứng minh: $\frac{x}{z\sqrt{4x^{2}+1}}+\frac{y}{x\sqrt{4y^{2}+1}}+\frac{z}{y\sqrt{4z^{2}+1}}\geq \frac{3}{2}$



#2 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 17-06-2022 - 22:07

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c=>ab+bc+ca=4$

$LHS=\sum \frac{c}{\sqrt{4+a^{2}}}=\sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\geq 2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{4}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$



#3 ATHEIST

ATHEIST

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ, Hòa Bình

Đã gửi 18-06-2022 - 10:12

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c=>ab+bc+ca=4$

$LHS=\sum \frac{c}{\sqrt{4+a^{2}}}=\sum \frac{c}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\geq 2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{4}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

Anh cho em hỏi là chỗ $2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$ dùng bất đẳng thức gì thế ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ATHEIST: 18-06-2022 - 10:16


#4 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 18-06-2022 - 10:58

Anh cho em hỏi là chỗ $2\sum \frac{c}{2a+b+c}\geq 2\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$ dùng bất đẳng thức gì thế ạ?

Em mới lớp 8 thôi ạ, không phải anh đâu ạ =))
Chỗ đó em dùng cauchy-schwarz dạng phân thức $\sum \frac{c}{2a+b+c}=\sum \frac{c^{2}}{2ac+bc+c^{2}} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh