Đến nội dung


Hình ảnh

$f(ab) = f(a)+f(b) + k f ( \gcd(a,b))$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1593 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 18-06-2022 - 21:43

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại  hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

 

$1)$ $f(1997) = 1998$

 

$2)$ $f(ab) = f(a)+f(b) +  k f ( \gcd(a,b))$ với mọi $ a;b \in \mathbb{N}^{*}$


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 20-06-2022 - 15:25

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại  hàm số $f: \mathbb{N}^{*}$ $\mapsto$ $\mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời $2$ điều kiện:

Theo mấy cái định nghĩa của hàm số ở VN thì em toàn thấy là $f: \mathbb{N}^*\to \mathbb{Z},\ x\mapsto f(x)$. Thế nên $\mapsto$ mà anh hay dùng theo em là chưa hợp lí (có gì không đúng thì anh lượng thứ  :icon6: )

 

Quay lại bài toán thì yêu cầu chỉ cần tìm $k$ nguyên dương khá đơn giản, sẽ đổi lại là tìm số nguyên $k$. Thay $a=b=1$ ta có

$$f(1)=2f(1)+kf(1)\implies (k+1)f(1)=0$$

$\bullet$ Xét trường hợp $f(1)=0$, thay $b=1$ và $a$ bất kì vào giả thiết ta có

$$f(a)=f(a)+f(1)+kf(\gcd(a,1))\implies kf(a)=0$$

Vì $f(1997)\neq 0$ nên $k=0$. Với $k=0$, dễ thấy hàm số

$$f\left(p_1^{\alpha_1}\dots p_t^{\alpha_t} \right )=\alpha_1f(p_1)+\dots+\alpha_tf(p_t)$$

thỏa đề, trong đó $f(1997)=1998$ và $f(p)=0$ với mọi $p\neq 1997$.

$\bullet$ Trường hợp $k=-1$ thì hàm $f\equiv 1998$ thỏa đề.

Vậy $k\in \{-1,0\}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 20-06-2022 - 15:55

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh