Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Đã gửi 08-08-2022 - 23:35

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}$.

Trong đó kí hiệu $f^2(x)=(f(x))^2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math04: 08-08-2022 - 23:36


#2 Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 10-01-2023 - 19:34

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm đã cho.

$P(0, 0)\Rightarrow 2f(0) = f^2(0)$

$\Rightarrow f(0) \in \{0; 2\}$.

$\bullet$ $f(0) = 0$: 

$P(x,0)\Rightarrow f(x^2) = f^2(x),\forall x\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(x) = \pm f(-x),\forall x\in\mathbb R$.

Đồng thời, ta cũng có $f(x)\geq 0,\forall x\geq 0$.

Giả sử tồn tại $a>0$ sao cho $-f(a)\neq f(-a)$.

Thế thì $f(a) = f(-a)$.

$P(-a, -a)\Rightarrow f(a^2 + 2af(-a)) + f(a^2) = 0$

$\Rightarrow f(a^2 + 2af(a)) + f(a^2) =0$.

Lại có $a\geq 0$ nên $f(a)\geq 0\Rightarrow a^2+2af(a)\geq 0$

$\Rightarrow f(a^2+2af(a)) \geq 0$

$\Rightarrow f(a^2)\leq 0\Rightarrow f(a^2)=0$

$\Rightarrow f(a) = f(-a) = 0$, mâu thuẫn vì $-f(a) \neq f(-a)$.

Do đó $-f(x) = f(-x),\forall x>0$, hay $f$ là hàm lẻ.

$P(x,-y)\Rightarrow f(x^2+2yf(x)) + f(y^2) = f^2(x+y),\forall x,y\in\mathbb R$.

Khi $x,y\geq 0$, ta có $x^2+2yf(x) \geq 0\Rightarrow f(x^2+2yf(x))\geq 0$

$\Rightarrow f(y^2)\leq f^2(x+y) \Rightarrow f(y)\leq f(x+y),\forall x,y\geq 0$.

Suy ra $f$ không giảm trên $\mathbb R^+$.

Kết hợp với $f$ là hàm lẻ và $f(x)\leq 0,\forall x\leq 0$, ta có $f$ không giảm trên $\mathbb R$.

Bây giờ, xét trường hợp tồn tại $a> 0$ sao cho $f(a) = 0$.

$P(x, 2x - 2f(x))\Rightarrow f(2x - 2f(x)) = 0,\forall x\in\mathbb R$. $(*)$

Cho $x=a$ ta có $f(2a) = 0$.

Cứ lặp lại liên tục ta có $f(2^{n}a) = 0,\forall n\in\mathbb N$.

Mà $f$ là hàm không giảm nên $f(x) = 0,\forall x\geq a$.

Cũng có $f(x)\leq f(a) = 0,\forall 0\leq x\leq a\Rightarrow f(x) = 0,\forall x\in [0,a]$.

Dẫn đến $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R^+$, hay $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

Còn Nếu $f(x)\neq 0,\forall x>0$ thì $f(x)\neq 0,\forall x\neq 0$.

Từ $(*)$ ta có ngay $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy thoả mãn.

$\bullet$ $f(0) = 2$: $P(x,0)\Rightarrow f(x^2) + 2 = f^2(x),\forall x\in\mathbb R$.

$P(0, -y)\Rightarrow f(4y) + f(y^2) = f^2(y),\forall y\in\mathbb R$.

Kết hợp ta có $f(4x) = 2,\forall x\in\mathbb R$, hay $f(x) = 2,\forall x\in\mathbb R$. Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn.

Tóm lại có ba hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán: $f(x) = x,\forall x\in\mathbb R$, $f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$ và $f(x) = 2,\forall x\in\mathbb R$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh