Chứng minh rằng với các số thực $a;b;c$ thỏa $abc =1$ thì ta luôn có bất đẳng thức:
$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$
Chứng minh rằng với các số thực $a;b;c$ thỏa $abc =1$ thì ta luôn có bất đẳng thức:
$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$
Chứng minh rằng với các số thực $a;b;c$ thỏa $abc =1$ thì ta luôn có bất đẳng thức:
$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$
Bài này khá chặt, nhìn thấy $abc=1$ nên ở đây ta tìm cách sử dụng bất đẳng thức Vasc $\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge 1$. Cụ thể là tìm $k,n$ sao cho bất đẳng thức
$$\sqrt{a^2-a+1}-a\ge k\left(\frac{3}{a^{2n}+a^n+1}-1\right)$$
đúng với mọi số $a$ dương.
Vì dấu bằng bất đẳng thức trên tại $a=1$ nên hàm số $f(a)=\sqrt{a^2-a+1}-a- k\left(\frac{3}{a^{2n}+a^n+1}-1\right)$ có $1$ là nghiệm kép, do đó $f'(1)=0$. Từ đây có được $kn=\frac{1}{2}$, tới đây thì mình dự đoán $k=\frac{1}{2}$ và $n=1$. Việc chứng minh thì không quá khó, thật vậy
$$\sqrt{a^2-a+1}-a\ge \frac{1}{2}\left(\frac{3}{a^{2}+a+1}-1\right)\iff \frac{a^2(a-1)^2}{(a+2)\sqrt{a^2-a+1}+a^2+2}\ge 0.$$
Tới đây thì xong rồi.
P/s: Ứng dụng của bất đẳng thức Vasc có thể tham khảo file Bat dang thuc Vasc.pdf 254.47K 114 Số lần tải (cái này ngày xưa mình tải ở diễn đàn ta nhưng giờ kiếm lại link cũ thì chưa thấy)
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh