Chủ đề này có 1 trả lời

[supermember]

Chứng minh rằng với các số thực $a;b;c$ thỏa $abc =1$ thì ta luôn có bất đẳng thức:

 

$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh rằng với các số thực $a;b;c$ thỏa $abc =1$ thì ta luôn có bất đẳng thức:

 

$ \sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geq a+b+c$

Bài này khá chặt, nhìn thấy $abc=1$ nên ở đây ta tìm cách sử dụng bất đẳng thức Vasc $\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge 1$. Cụ thể là tìm $k,n$ sao cho bất đẳng thức

$$\sqrt{a^2-a+1}-a\ge k\left(\frac{3}{a^{2n}+a^n+1}-1\right)$$

đúng với mọi số $a$ dương.

Vì dấu bằng bất đẳng thức trên tại $a=1$ nên hàm số $f(a)=\sqrt{a^2-a+1}-a- k\left(\frac{3}{a^{2n}+a^n+1}-1\right)$ có $1$ là nghiệm kép, do đó $f'(1)=0$. Từ đây có được $kn=\frac{1}{2}$, tới đây thì mình dự đoán $k=\frac{1}{2}$ và $n=1$. Việc chứng minh thì không quá khó, thật vậy

$$\sqrt{a^2-a+1}-a\ge \frac{1}{2}\left(\frac{3}{a^{2}+a+1}-1\right)\iff \frac{a^2(a-1)^2}{(a+2)\sqrt{a^2-a+1}+a^2+2}\ge 0.$$

Tới đây thì xong rồi.

 

P/s: Ứng dụng của bất đẳng thức Vasc có thể tham khảo file   Bat dang thuc Vasc.pdf   254.47K   39 Số lần tải (cái này ngày xưa mình tải ở diễn đàn ta nhưng giờ kiếm lại link cũ thì chưa thấy)