Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Chứng minh với mỗi số tự nhiên $n$, tồn tại các số tự nhiên $k,l$ sao cho $a_{n}=k^2+(k+1)^2$, $a_{n}^2=(l+1)^3-l^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Math04

Math04

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 19-09-2022 - 23:49

Cho dãy số $\left\{\begin{matrix} a_{0}=1,a_{1}=13& & \\ a_{n+2}=14a_{n+1}-a_{n} & & \end{matrix}\right.$ Chứng minh với mỗi số tự nhiên $n$, tồn tại các số tự nhiên $k,l$ sao cho $a_{n}=k^2+(k+1)^2$, $a_{n}^2=(l+1)^3-l^3$.

 



#2 chuyenndu

chuyenndu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-10-2022 - 05:30

ở đây mình sẽ cm quy nạp $a_n=k_n^2+(k_n+1)^2$

tìm được $k_0=0,k_1=2,k_2=9,k_3=15,k_4=132$ nên dãy $(k_n)$ thỏa mãn $k_{n+2}=4k_{n+1}-k_n+1$

thay vào $a_{n+2}=14a_{n+1}-a_n$ thì cần chứng minh

$2k_{n+2}^2+2k_{n+2}+1=14(2k_{n+1}^2+2k_{n+1}+1)-(2k_n^2+2k_n+1)\iff k_{n+1}^2+k_n^2=4k_{n+1}k_n+k_{n+1}+k_n+2$

hệ thức cuối cm được bằng quy nạp luôn

 

$a_n^2=(l_n+1)^3-l_n^3$ tương tự với $l_{n+2}=14l_{n+1}-l_n+6$, chú ý là

$(a_{n+2}+a_n)^2=(14a_n)^2\iff a_{n+2}^2+a_n^2+2(a_{n+1}^2+12)=196a_{n+1}^2$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh