Cách 2:
Hình:
Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AB$ và $AC$
Ta có $S_{ABD} = S_{ACD}$ (vì $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có cùng đường cao hạ từ $A$ và hai đáy $BD$ và $CD$ bằng nhau)
$\Rightarrow \frac{AB\cdot DE}{2} = \frac{AC\cdot DF}{2}$
$\Rightarrow AB\cdot DE = AC\cdot DF$
$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{DF}{DE}$
Ta lại có $\Delta KNA$ ~ $\Delta AED$ ($\widehat{KAN} = \widehat{ADE}$ vì cùng phụ với $\widehat{EAD}$, $\widehat{KNA} = \widehat{AED} (= 90^{\circ})$)
$\Rightarrow \frac{NA}{ED} = \frac{KA}{AD}$
$\Rightarrow AK = \frac{NA\cdot AD}{DE}$
Tương tự, $\Delta IMA$ ~ $\Delta AFD$
$\Rightarrow AI = \frac{AM\cdot AD}{DF}$
$\Rightarrow \frac{AK}{AI} = \frac{\frac{NA\cdot AD}{DE}}{\frac{AM\cdot AD}{DF}}=\frac{AN\cdot DF}{AM\cdot DE}=\frac{AN\cdot AB}{AM\cdot AC}$
Mà ta lại dễ thấy được $\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}$
$\Rightarrow \frac{AK}{AI}=\frac{AB\cdot AC}{AC\cdot AB}=1$
$\Rightarrow AK = AI$ (đpcm)