bài hay

#1
minhhoang_k15

Đã gửi 03-08-2006 - 17:32

7vất vưởng

Thành viên
29 Bài viết

ĐẶthttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g(n) là $BCNN[C_n ^1,C_n ^2,....,C_n^n]$
Chứng minh rằng: $f(n+1)=(n+1)g(n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 03-08-2006 - 20:15

#2
tanlsth

Đã gửi 03-08-2006 - 20:24

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 Bài viết

Bài này ta giải như sau
Ta sẽ chứng minh $\forall p \in P$ thì số mũ của $p$ trong 2 số bằng nhau
Thật vậy giả sử $p^m \leq n+1<p^{m+1}$
Số mũ của $p$ trong $f(n)$ là $m$
Số mũ của $p$ trong $(n+1)g(n)$ là $max_{1 \leq k \leq n}\sum\limits_{i=1}^{m} [\dfrac{n+1}{p^i}]-[\dfrac{n-k}{p^i}]-[\dfrac{k}{p^i}]$
Lại có
$[\dfrac{p}{q}] \geq \dfrac{p+1}{q}-1 \Rightarrow 0 \leq [\dfrac{n+1}{p^i}]-[\dfrac{n-k}{p^i}]-[\dfrac{k}{p^i}] \leq 1$
Suy ra
$max_{1 \leq k \leq n}\sum\limits_{i=1}^{m} [\dfrac{n+1}{p^i}]-[\dfrac{n-k}{p^i}]-[\dfrac{k}{p^i}] \leq m$
Với $k=n+1-p^m$ thì $max_{1 \leq k \leq n}\sum\limits_{i=1}^{m} [\dfrac{n+1}{p^i}]-[\dfrac{n-k}{p^i}]-[\dfrac{k}{p^i}] = m$
Vì $[\dfrac{n+1}{p^i}]-[\dfrac{n-k}{p^i}]-[\dfrac{k}{p^i}] =1$
Từ đó ta có đpcm

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#3
minhhoang_k15

Đã gửi 04-08-2006 - 10:01

7vất vưởng

Thành viên
29 Bài viết

cách này được thật!
bạn thử giải bằng hệ cơ số p xem sao? mình đọc giải mà ko hiểu! :Rightarrow

#4
vietnamesegauss89

Đã gửi 06-08-2006 - 12:04

Sĩ quan

Thành viên
348 Bài viết

ĐẶthttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g(n) là $BCNN[C_n ^1,C_n ^2,....,C_n^n]$
Chứng minh rằng: $f(n+1)=(n+1)g(n)$

Có thể dùng bổ đề sau:Cho n nguyên dương,p nguyên tố.Số mũ của p trong n! là: $\sum\limits_{i=1}^{ \infty }[\dfrac{n}{p^i}]$
từ đó có thể giải dễ dàng

Kiếm phát tùy tâm
Tâm chuyển sát chí

#5
tanlsth

Đã gửi 06-08-2006 - 14:22

Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

Hiệp sỹ
1428 Bài viết

Thực ra thì nếu giải theo phương pháp biểu diễn cơ số $p$ cũng không có gì
Nếu đặt $n= \sum\limits_{i=0}^{k}u_ip^i$ thì ta suy ra được $[ \dfrac{n}{p^l}]=u_kp^{k-l}+..+u_l$
Vì $u_{l-1}p^{l-1}+..+u_0 \leq (p-1)(p^{l-1}+..+1}=p^l-1>p^l$
Từ đó suy ra đpcm thôi

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning

#1 minhhoang_k15 Đã gửi 03-08-2006 - 17:32

#2 tanlsth Đã gửi 03-08-2006 - 20:24

#3 minhhoang_k15 Đã gửi 04-08-2006 - 10:01

#4 vietnamesegauss89 Đã gửi 06-08-2006 - 12:04

#5 tanlsth Đã gửi 06-08-2006 - 14:22

0 người đang xem chủ đề

Đăng nhập

#1
minhhoang_k15

Đã gửi 03-08-2006 - 17:32

#2
tanlsth

Đã gửi 03-08-2006 - 20:24

#3
minhhoang_k15

Đã gửi 04-08-2006 - 10:01

#4
vietnamesegauss89

Đã gửi 06-08-2006 - 12:04

#5
tanlsth

Đã gửi 06-08-2006 - 14:22