Chủ đề này có 1 trả lời

[truongphat266]

Cho phương trình: $x^2 +x-m(m+1)(m^2+1)=0$ $(m\in \mathbb{N}^*)$ có 2 nghiệm nguyên

Chứng minh rằng: $x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2$ có 2 ước là 2 số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 10-04-2023 - 20:03

[Nguyen Bao Khanh]

Để phương trình $(*)$ có 2 nghiệm nguyên thì ta có: $\Delta =4m(m+1)(m^2+1)+1$ là số chính phương. Đặt $4m(m+1)(m^2+1)+1=k^2 (k\epsilon \mathbb{N})\to 4m^4+4m^3+4m^2+4m+1=k^2>(2m^2+m)^2=4m^4+4m^3+m^2$ (Do $m\epsilon \mathbb{N*}$). Ta cũng có  $k^2<(2m^2+m+2)^2=4m^4+m^2+4+4m^3+4m+8m^2=4m^4+4m^3+9m^2+4m+4$. Nên $k^2=(2m^2+m+1)^2=4m^4+4m^3+m^2+1+2m+4m^2\to m^2=2m\to m=2 $. Phương trình thành $x^2+x-30=0 \to x_1=-6,x_2=5$. Khi đó $x_1^2+x_2^2-x_1x_2=91$ có 2 ước nguyên tố.