Chủ đề này có 1 trả lời

[toanhoc9]

Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn: $p^{3}+107=2q(17q+24)$

[Nguyen Bao Khanh]

Phân tích phương trình thì ta có $p^3-125=34q^2+48q-232\to (p-5)(p^2+5p+25)=2(q-2)(17q+58)$. Với $q=2$ thì $p=5$, với $q=3$ thì $p=7$. Với $q\geq 5,q$ lẻ thì nếu $q$ chia 3 dư 1, ta có $17q+58\vdots3$ nhưng $q-2$ không chia hết cho 3, nếu $q$ chia 3 dư 2 thì $q-2\vdots 3$ nhưng $17q+58$ không chia hết cho 3. Khi đó $(p-5)(p^2+5p+25)\vdots 3$, không chia hết cho 9. Nếu $p$ chia 3 dư 1 thì $(p-2)(p^2+5p+25)$ không chia hết cho 3 (loại). Nếu $p$ chia 3 dư 2 thì $(p-5)(p^2+5p+25)\vdots 9$ (loại). 

KL: $(p,q)=(5,2),(7,3)$. 

P/s: Lúc trước thấy bài này trên diễn đàn nhưng khó quá nên bỏ luôn, bây giờ nhìn lại thấy cũng hay hay