Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Chứng tỏ rằng
$$x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1\,\vdots \,x^4+x^3+x^2+x+1  $$
2/ Đặt $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 $. Tìm số dư của $\frac {f(x^5)}{f(x)}$.

[Leonguyen]

1/ Chứng tỏ rằng
$$x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1\,\vdots \,x^4+x^3+x^2+x+1  $$

Đặt $P={x^{44}} - {x^4} + {x^{33}} - {x^3} + {x^{22}} - {x^2} + {x^{11}} - x + 1 - 1 $ $= {x^4}({x^{40}} - 1) + {x^3}({x^{30}} - 1) + {x^2}({x^{20}} - 1) + x({x^{10}} - 1).$

Vì $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ mà $x^{40}-1, x^{30}-1, x^{20}-1, x^{10}-1$ đều chia hết cho $x^5-1$ nên cũng chia hết cho $x^4+x^3+x^2+x+1,$ suy ra $P$ chia hết cho $x^4+x^3+x^2+x+1.$ Do vậy $x^{44}+x^{33}+x^{22}+x^{11}+1\,\vdots \,x^4+x^3+x^2+x+1$ (đpcm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 20-06-2023 - 15:13

[Leonguyen]

2/ Đặt $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 $. Tìm số dư của $\frac {f(x^5)}{f(x)}$.

$f(x^5)=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^5+1=(x^{20}-1)+(x^{15}-1)+(x^{10}-1)+(x^5-1)+5.$

Theo câu 1/ ta chứng minh được $x^{20}-1,$ $x^{15}-1,$ $x^{10}-1,$ $x^5-1$ đều chia hết cho $f(x).$ Do vậy $5$ là dư của phép chia đa thức $f(x^5)$ cho $f(x).$

[Nobodyv3]

@Leonguyen instructive solutions.
Thank you very much.