Chủ đề này có 1 trả lời

[Sprouts]

Tìm hàm $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn $f(a)f(a+b)-ab$ là số chính phương với mọi a,b nguyên dương.

[nhungvienkimcuong]

Tìm hàm $f:\mathbb{N^{*}}\rightarrow \mathbb{N^{*}}$ thỏa mãn $f(a)f(a+b)-ab$ là số chính phương với mọi a,b nguyên dương.

Bổ đề

Với mỗi số nguyên tố $p$ lẻ thì luôn tồn tại số nguyên $m$ sao cho $\left ( \frac{m}{p} \right )=-1$.

Ánh xạ $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ xác định bởi $x \mapsto x^2$ không phải toàn ánh (vì $\overline{1}$ và $\overline{-1}$ có cùng ảnh) nên tồn tại số nguyên $m$ sao cho $p\nmid x^2-m$ với mọi số nguyên $x$.

 

$\ast$ Chứng minh $f(1)\in \{1,2\}$.

Thay $a:=1$ vào giả thiết thì $f(1)f(b+1)-b$ là số chính phương với mọi $b\in \mathbb{N}^*$. Nếu tồn tại số nguyên tố lẻ $q\mid f(1)$ thì 

\[\left ( \frac{-b}{q} \right )=1,\quad \forall b\in \mathbb{N}^*.\]

Điều này mâu thuẫn với Theorem nên $f(1)$ là lũy thừa của $2$. Nếu $v_2(f(1))>1$, thay $a:=1,b:=2$ vào giả thiết ta có

$$f(1)f(3)-2=x^2\implies x^2\equiv -2\pmod{4}.$$

Từ mâu thuẫn này suy ra $f(1)\in \{1,2\}$.

 

$\ast$ Chứng minh $f(p)\mid 2p$ với mọi số nguyên tố $p$ lẻ.

Thay $a:=p$ vào giả thiết thì $f(p)f(p+b)-pb$ là số chính phương với mọi $b\in \mathbb{N}^*$. Xét số nguyên tố lẻ $q\mid f(p)$, nếu $q\neq p$ thì

\[\left ( \frac{-pb}{q} \right )=1,\quad \forall b\in \mathbb{N}^*.\]

Điều này mâu thuẫn với Theorem vì ƯCLN$(p,q)=1$. Vậy $f(p)$ chỉ có tối đa hai ước nguyên tố là $2$ và $p$.

• Nếu $v_p(f(p))>1$, với $a:=p,b:=1$ thì $f(p)f(p+1)-p$ là số chính phương. Tuy nhiên điều này mâu thuẫn với $v_p(f(p)f(p+1)-p)=1.$
• Nếu $v_2(f(p))>1$, với $a:=p,b:=2$ thì $f(p)f(p+2)-2p$ là số chính phương. Tuy nhiên điều này mâu thuẫn với $v_2(f(p)f(p+2)-2p)=1.$

Như vậy $f(p)\mid 2p$.

 

$\ast$ Chứng minh $f(p)=p$ với mọi số nguyên tố $p\ge 7$.

Với $a:=1,b:=p-1$ thì $f(1)f(p)-p+1$ là số chính phương.

• Nếu $f(p)\in \{1,2\}$ thì $f(1)f(p)-p+1\le 2\cdot 2-p+1=5-p$, từ đây dễ thấy mâu thuẫn.
• Nếu $f(p)=2p$ thì $f(1)f(p)-p+1\in \{p+1,3p+1\}$. Tới đây giải phương trình nghiệm nguyên dễ thấy vô lí vì $p\ge 7$.

Vậy $f(p)=p$.

 

$\ast$ Chứng minh $f(n)=n$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cố định $n$, xét số nguyên tố $p>\max\{7,f(n)+n\}$. Thay $a:=n,b:=p-n$ vào giả thiết thì

\[p(f(n)-n)+n^2=x^2.\]

Suy ra $p\mid x^2-n^2$ nên $x$ có dạng $kp\pm n$ với $k$ là số tự nhiên. Mặt khác với cách chọn $p$ thì

\[p(f(n)-n)+n^2<(p-n)^2\implies kp\pm n=x<p-n.\]

Do vậy $x=n$ nên $f(n)=n$.

 

 

Ghi chú. Những bài PTH về số chính phương thường khá khó, một số bài toán khác ở đây và đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-09-2023 - 08:06