Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a+b=2$. Chứng minh $a^3b^3(a^3 + b^3) \leq 2$


Lời giải hngmcute, 08-09-2023 - 14:32

sorry he he he =))

pttt $a^3b^3\left [(a+b)^3-3ab(a+b)\right ]$

$=a^3b^3(8-6ab)$

$= (-6a^4b^4+12a^3b^3-6a^2b^2)+(-4a^3b^3+8a^2b^2-4ab)+(-2a^2b^2+4ab-2)+2$

$= -6a^2b^2(ab-1)^2-4ab(ab-1)^2-2(ab-1)^2+2$

$\leq 2$

Dấu "$=$" $\Leftrightarrow x=y=1$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
AnAn333

AnAn333

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Cho $a+b=2$. Chứng minh $a^3b^3(a^3 + b^3) \leq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 07-09-2023 - 21:18
Công thức LaTex


#2
hngmcute

hngmcute

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
✓  Lời giải

sorry he he he =))

pttt $a^3b^3\left [(a+b)^3-3ab(a+b)\right ]$

$=a^3b^3(8-6ab)$

$= (-6a^4b^4+12a^3b^3-6a^2b^2)+(-4a^3b^3+8a^2b^2-4ab)+(-2a^2b^2+4ab-2)+2$

$= -6a^2b^2(ab-1)^2-4ab(ab-1)^2-2(ab-1)^2+2$

$\leq 2$

Dấu "$=$" $\Leftrightarrow x=y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hngmcute: 08-09-2023 - 20:43


#3
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

bruh có đk a b dương ko. mình coi như có nhé

pttt $a^3b^3\left [(a+b)^3-3ab(a+b)\right ]$

$=a^3b^3(8-6ab)$

$= (-6a^4b^4+12a^3b^3-6a^2b^2)+(-4a^3b^3+8a^2b^2-4ab)+(-2a^2b^2+4ab-2)+2$

$= -6a^2b^2(ab-1)^2-4ab(ab-1)^2-2(ab-1)^2+2$

$\leq 2$

Dấu "$=$" $\Leftrightarrow x=y=1$

 

Đây là một BĐT đúng với mọi số thực a, b chứ không nhất thiết a, b không âm đâu bạn  ~O)


N.K.S - Learning from learners!


#4
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

sorry he he he =))

pttt $a^3b^3\left [(a+b)^3-3ab(a+b)\right ]$

$=a^3b^3(8-6ab)$

$= (-6a^4b^4+12a^3b^3-6a^2b^2)+(-4a^3b^3+8a^2b^2-4ab)+(-2a^2b^2+4ab-2)+2$

$= -6a^2b^2(ab-1)^2-4ab(ab-1)^2-2(ab-1)^2+2$

$\leq 2$

Dấu "$=$" $\Leftrightarrow x=y=1$

 

Chứng minh trên chỉ đúng khi $a,b$ cùng dấu, chỉ khi đó ta mới có $4ab(ab-1)^2 \geq 0$. 

 

Trường hợp còn lại $a, b$ trái dấu, rất đơn giản, nhưng cũng cần phải lưu ý giải quyết cho trọn vẹn.

 

Cụ thể, do $ab<0$ nên $a^3b^3<0$ và $8-6ab>0$, vì vậy $a^3b^3(8-6ab)<0$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#5
chuyenndu

chuyenndu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết

nếu a<0 thì b=2-a>0 $\Rightarrow a^3b^3(a^3+b^3)=a^3b^32(a^2-ab+b^2)<0$

xét trường hợp a,b không âm $a^3b^3(a^3+b^3)=2a^3b^3(4-3ab)=2ab\times ab\times ab \times(4-3ab)\le 2\left(\frac{ab+ab+ab+(4-3ab)}{4}\right)^4=2$



#6
phatmetoanhsg

phatmetoanhsg

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

nếu a<0 thì b=2-a>0 $\Rightarrow a^3b^3(a^3+b^3)=a^3b^32(a^2-ab+b^2)<0$

xét trường hợp a,b không âm $a^3b^3(a^3+b^3)=2a^3b^3(4-3ab)=2ab\times ab\times ab \times(4-3ab)\le 2\left(\frac{ab+ab+ab+(4-3ab)}{4}\right)^

chỗ ab.ab.ab.(4-3ab) bé hơn hoặc bằng (ab+ab)2.(ab+(4-3ab)2/4 chứ bạn. sao lại cộng vậy



#7
dinhvu

dinhvu

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết

Dễ dàng chứng minh 2 số không cùng $\leq 0$

-Trong a,b tồn tại 1 số $\leq 0$ giả sử là b thì a >0 $\Rightarrow$$a^3b^3(a^3+b^3)=a^3b^3.2.(a^2-ab+b^2)\leq 0$ vì $a>0, b\leq 0, a^2-ab+b^2\geq 0$. 

Mà 0<2 nên đpcm(1)

- $a,b\geq 0$ thì VT=$2.ab.ab.ab.(a^2-ab+b^2)\leq 2.(\frac{ab+ab+ab+a^2-ab+b^2}{4})^4\\ =2.(\frac{(a+b)^2}{4})^4=2$(2)

(1)+(2) suy ra ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi a=b=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 09-09-2023 - 23:01


#8
dinhvu

dinhvu

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 47 Bài viết

chỗ ab.ab.ab.(4-3ab) bé hơn hoặc bằng (ab+ab)2.(ab+(4-3ab)2/4 chứ bạn. sao lại cộng vậy

AM-GM 4 số í bạn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh