Chủ đề này có 4 trả lời

[William Nguyen]

Cho các số thực dương $a, b, c: a+b+c=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 11-09-2023 - 17:42

[Matthew James]

Có $\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự ta có $\frac{b^2}{c+1}\geq b-\frac{bc}{2}$;$\frac{c^2}{a^2+1}\geq c-\frac{ca}{2}$

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: 

$P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$

Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[HaiDangPham]

Có $\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự ta có $\frac{b^2}{c+1}\geq b-\frac{bc}{2}$;$\frac{c^2}{a^2+1}\geq c-\frac{ca}{2}$

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: 

$P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$

Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Chứng minh bị lỗi ngay bước đầu tiên. Ở đây $a-\frac{ab^2}{b^2+1}=\frac{a}{b^2+1}$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 14-09-2023 - 11:16

[thvn]

Chứng minh bị lỗi ngay bước đầu tiên. Ở đây $a-\frac{ab^2}{b^2+1}=\frac{a}{b^2+1}$.

 

Bạn ấy bị nhầm với 1 dạng AM-GM ngược hướng 

[loitran12345]

Lời giải