Cho các số thực dương $a, b, c: a+b+c=3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}$
Edited by William Nguyen, 11-09-2023 - 17:42.
Có $\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$
Tương tự ta có $\frac{b^2}{c+1}\geq b-\frac{bc}{2}$;$\frac{c^2}{a^2+1}\geq c-\frac{ca}{2}$
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được:
$P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$
Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Có $\frac{a^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$
Tương tự ta có $\frac{b^2}{c+1}\geq b-\frac{bc}{2}$;$\frac{c^2}{a^2+1}\geq c-\frac{ca}{2}$
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được:
$P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$
Lại có $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2=9\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq 3$
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Chứng minh bị lỗi ngay bước đầu tiên. Ở đây $a-\frac{ab^2}{b^2+1}=\frac{a}{b^2+1}$.
Edited by HaiDangPham, 14-09-2023 - 11:16.
Chứng minh bị lỗi ngay bước đầu tiên. Ở đây $a-\frac{ab^2}{b^2+1}=\frac{a}{b^2+1}$.
Bạn ấy bị nhầm với 1 dạng AM-GM ngược hướng
N.K.S - Learning from learners!
0 members, 1 guests, 0 anonymous users