Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn$(a+b)(b+c)(c+a)=8$. CMR
$(\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}-1)(\frac{b+c}{b+a}+\frac{b+a}{b+c}-1)(\frac{c+b}{c+a}+\frac{c+a}{c+b}-1)\geq \frac{8abc}{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}$
$(\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}-1)(\frac{b+c}{b+a}+\frac{b+a}{b+c}-1)(\frac{c+b}{c+a}+\frac{c+a}{c
Bắt đầu bởi dinhvu, 16-09-2023 - 21:11
Lời giải truongphat266, 16-09-2023 - 23:13
Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn$(a+b)(b+c)(c+a)=8$. CMR
$(\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}-1)(\frac{b+c}{b+a}+\frac{b+a}{b+c}-1)(\frac{c+b}{c+a}+\frac{c+a}{c+b}-1)\geq \frac{8abc}{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}$
Ta có bổ đề sau: Cho $a,b,c \geq 0$ thì có: $$\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2}\geq \frac{1}{a^2+bc}\Leftrightarrow \frac{(a^2-bc)^2+bc(b-c)^2}{(a+b)^2(a+c)^2(a^2+bc)}\geq 0.$$
Áp dụng bổ đề:
$$VT=\prod _{cyc}(a+b)(a+c)(\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2}-\frac{1}{(c+a)(b+c)})\geq \prod_{cyc} \frac{a(b+c)}{a^2+bc}=VP.$$
Có điều phải chứng minh!
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 16-09-2023 - 21:11
dinhvu
-
- Thành viên
-
- 75 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 16-09-2023 - 23:13
truongphat266
-
- Thành viên
-
- 163 Bài viết
Trung sĩ
✓ Lời giải
Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn$(a+b)(b+c)(c+a)=8$. CMR
$(\frac{a+b}{a+c}+\frac{a+c}{a+b}-1)(\frac{b+c}{b+a}+\frac{b+a}{b+c}-1)(\frac{c+b}{c+a}+\frac{c+a}{c+b}-1)\geq \frac{8abc}{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}$
Ta có bổ đề sau: Cho $a,b,c \geq 0$ thì có: $$\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2}\geq \frac{1}{a^2+bc}\Leftrightarrow \frac{(a^2-bc)^2+bc(b-c)^2}{(a+b)^2(a+c)^2(a^2+bc)}\geq 0.$$
Áp dụng bổ đề:
$$VT=\prod _{cyc}(a+b)(a+c)(\frac{1}{(c+a)^2}+\frac{1}{(b+a)^2}-\frac{1}{(c+a)(b+c)})\geq \prod_{cyc} \frac{a(b+c)}{a^2+bc}=VP.$$
Có điều phải chứng minh!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 17-09-2023 - 09:16
- Leonguyen, dinhvu, redlovesmaths và 3 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
