Chủ đề này có 1 trả lời

[Sprouts]

cho$\alpha$ là số thực và dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} & x_{0}=0,x_{1}=1 \\  &(k+1)x_{k+2}=\alpha x_{k+1}+(k-2022)x_{k}\end{matrix}\right.$

Tìm giá trị $\alpha$ lớn nhất sao cho $x_{2023}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-09-2023 - 22:14
Tiêu đề & LaTeX

[nhungvienkimcuong]

cho$\alpha$ là số thực và dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:$\left\{\begin{matrix} & x_{0}=0,x_{1}=1 \\  &(k+1)x_{k+2}=\alpha x_{k+1}+(k-2022)x_{k}\end{matrix}\right.$

Tìm giá trị $\alpha$ lớn nhất sao cho $x_{2023}=0$

Xét khai triển chuỗi lũy thừa $f(t)=x_1+x_2t+x_3t^2+x_4t^3+\dots$, từ giả thiết ta có

\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}x_{k+2}\cdot(k+1)t^k&=\sum_{k=0}^{\infty}\alpha x_{k+1}t^k+\sum_{k=0}^{\infty}(k-2022)x_kt^k\\&=\alpha\sum_{k=0}^{\infty}x_{k+1}t^k+\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)x_kt^k-2021\sum_{k=0}^{\infty}x_kt^k\\&=\alpha\sum_{k=0}^{\infty}x_{k+1}t^k+t^2\sum_{k=1}^{\infty}x_k\cdot(k-1)t^{k-2}-2021t\sum_{k=0}^{\infty}x_kt^{k-1}.\end{align*}

Do đó

\[f'(t)=\alpha f(t)+t^2f'(t)-2021tf(t)\implies \frac{f'(t)}{f(t)}=\frac{\alpha-2021t}{1-t^2}.\]

Từ đây nguyên hàm tìm được $f(t)=(1-t)^{\frac{2021-\alpha}{2}}(1+t)^{\frac{2021+\alpha}{2}}$. Để $f(t)$ là "đa thức" thì ta phải có $\frac{2021-\alpha}{2}$ và $\frac{2021+\alpha}{2}$ là các số tự nhiên. Với điều kiện này thấy ngay giá trị lớn nhất của $\alpha$ là $2021$ (chưa hề đụng tới $x_{2023}=0$).

Thử lại thỏa mãn, vì với $\alpha=2021$ thì $f(t)=(1+t)^{2021}=\sum_{k=0}^{2021}C_{2021}^kt^k+\sum_{k=2022}^{\infty}0\cdot x^k$, thấy ngay $x_{2023}=0$.

 

Ghi chú: Sử dụng hàm sinh thì diễn đàn ta có anh @supermember rất thượng thừa, có thể tham khảo ở đây và đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 27-09-2023 - 10:30