Lời giải nhungvienkimcuong, 23-09-2023 - 12:05
Ta sẽ chứng minh $P\ge -4$. Dự đoán điểm rơi là $(a,b,c)\in \{(2,1,0),(0,-1,-2)\}$ để sử dụng Cô-si phù hợp.
Nếu $ab+bc+ca\le 0$ thì $P\ge 0>-4$, do đó chỉ cần xét khi $ab+bc+ca>0$.
\begin{equation*}(a-b)(b-c)\le \frac{(a-c)^2}{4}\Rightarrow -4P\le \underbrace{(a-c)^3(ab+bc+ca)}_{\mathcal{G}}.\end{equation*}
Tiếp tục thì Cô-si cho 5 số ta có
\begin{equation*}\mathcal{G}^2=8\left(\frac{(a-c)^2}{2}\right )^3(ab+bc+ca)^2\le 8\left(\frac{\frac{3}{2}(a-c)^2+2(ab+bc+ca)}{5} \right )^5.\end{equation*}
Cuối cùng thì chỉ cần chứng minh
\[8\left(\frac{\frac{3}{2}(a-c)^2+2(ab+bc+ca)}{5} \right )^5\le 16^2\iff 3(a-c)^2+4(ab+bc+ca)\le 20=4(a^2+b^2+c^2).\]
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì
\[3(a-c)^2+4(ab+bc+ca)\le 4(a^2+b^2+c^2)\iff (a-2b+c)^2\ge 0.\]
P/s. Một bài toán hơi tương tự tại đây.
Đi đến bài viết »Bài 55: Cho $x,y,z\geqslant 0$.Chứng minh rằng
$(x^2+y^2+z^2)^2\geqslant 4(x+y+z)(x-y)(y-z)(z-x)$
Hạ sĩ
Cho 3 số thực $a, b, c$ thay đổi thỏa mãn $a\geq b\geq c$ và $a^2+b^2+c^2=5$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca).$
(Đề thi chọn đội tuyển tham gia hsg tỉnh trường THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2023-2024)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 21-09-2023 - 19:23
Thiếu úy
Ta sẽ chứng minh $P\ge -4$. Dự đoán điểm rơi là $(a,b,c)\in \{(2,1,0),(0,-1,-2)\}$ để sử dụng Cô-si phù hợp.
Nếu $ab+bc+ca\le 0$ thì $P\ge 0>-4$, do đó chỉ cần xét khi $ab+bc+ca>0$.
\begin{equation*}(a-b)(b-c)\le \frac{(a-c)^2}{4}\Rightarrow -4P\le \underbrace{(a-c)^3(ab+bc+ca)}_{\mathcal{G}}.\end{equation*}
Tiếp tục thì Cô-si cho 5 số ta có
\begin{equation*}\mathcal{G}^2=8\left(\frac{(a-c)^2}{2}\right )^3(ab+bc+ca)^2\le 8\left(\frac{\frac{3}{2}(a-c)^2+2(ab+bc+ca)}{5} \right )^5.\end{equation*}
Cuối cùng thì chỉ cần chứng minh
\[8\left(\frac{\frac{3}{2}(a-c)^2+2(ab+bc+ca)}{5} \right )^5\le 16^2\iff 3(a-c)^2+4(ab+bc+ca)\le 20=4(a^2+b^2+c^2).\]
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì
\[3(a-c)^2+4(ab+bc+ca)\le 4(a^2+b^2+c^2)\iff (a-2b+c)^2\ge 0.\]
P/s. Một bài toán hơi tương tự tại đây.
Bài 55: Cho $x,y,z\geqslant 0$.Chứng minh rằng
$(x^2+y^2+z^2)^2\geqslant 4(x+y+z)(x-y)(y-z)(z-x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-09-2023 - 08:06
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
