Chủ đề này có 72 trả lời

[Kimluan]

Bây giờ em sẽ tổng kết để dứt điểm bài này luôn:
Bài toán: Cho a,b,c>0. k là hằng số thực tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2 và http://dientuvietnam....cgi?y=6abc.Khi đó:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(a,b,c)=\dfrac{6x}{y}+\dfrac{ky}{6x+2y}=6l+\dfrac{k}{6l+2}(trong đó http://dientuvietnam...mimetex.cgi?g(l)
*Nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?g(l) là http://dientuvietnam...metex.cgi?6 k/8, đây cũng chính là gtnn của http://dientuvietnam...tex.cgi?f(a,b,c) và đẳng thức xảy ra khi http://dientuvietnam...metex.cgi?g^,(l)==6\dfrac{(6l+2-\sqrt{k})(6l+2+\sqrt{k})}{(6l+2)^2}
suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l_0=\dfrac{\sqrt{k}-2}{6}
Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l=\dfrac{\sqrt{k}-2}{6}
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a,b,c>0 thỏa (**) là bài toán được giải quyết.
Thật vậy: cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b=c=1 khi đó (**) trở thành:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0^+)=1 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?min{f(a,b,c)}=6+k/8 ,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=b=c.
+http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?min{f(a,b,c)}=2\sqrt{k}-2 ,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2=\dfrac{\sqrt{k}-2}{6}abc
*Nhận xét: Việc tìm chính xác tất cả các bộ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a,b,c) sao cho dấu bằng đạt tại (**) là rất khó, bằng cảm giác có thể thấy có vô số bộ như thế và ko nhất thiết phải có hai chú bằng nhau(trường hợp dấu bằng rất lộn xộn). Ko biết nhận xét này có đúng ko vì nếu thật vậy thì các p.p chứng minh cũ như dồn biến,S.O.S hay chi để trị… vứt đi là phải,điều này quả thật rất khủng khiếp.
*Ghi chú: Để có cảm giác ta sẽ thay bằng một trường hợp riêng,chẳng hạn với k=100 ta có BĐT:
ìCho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=1,b=2,c=3 là một trường hợp dấu bằng xảy ra”
Với bài này thì dồn biến sẽ như thế nào nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kimluan: 09-08-2006 - 16:25

[Kimluan]

EM chắc là anh Việt Anh đã nhầm lẫn rồi!Dấu bằng ở bài trên vẫn xảy ra khiả biến bằng nhau vì đây là đa thức đối xứng bậc 3 nên theo định lí ABC thì đương nhiên 3 biến phải bằng nhau!
PS:Mà hình như mọi người đều bỏ quên pp ABC rồi thì phải!Mặc dù nó làm giảm đi độ thú vị của bài toán nhưng những bài này áp dụng ABC đều "trị" được cả!

Cái luật này ở đâu ra vậy bạn, ABC ngay từ đầu đã nói là ko đúng rồi mà cứ nhắc đi nhắc lại hoài. Đừng nói ba biến bằng nhau hai biến bằng nhau cũng chưa có gì để đảm bảo, bạn xem trường hợp riêng khi k=100 mình post ở bài viết trên thì khắc rõ.

[Kimluan]

Đánh cá đê!Các Phương pháp tôi đã nêu ở trên chắc chắn ko giải được vì với k >64 thì dấu bằng xảy ra rất lung tung nên ko thể giải bằng mấy cách kia được vì chúng chỉ dành để giải những bài toán có 2 biến bằng nhau.
To kimluan: đố em mò được dấu bằng với cách đó đấy!số ẩn lớn hơn số PT thì mò kiểu gì đây?
To Nesbit: Hix!dấu bằng xảy ra khi 3 biến khác nhau hoàn toàn chứ ko phải 2 biến bằng nhau đâu.
Các bác giải quyết xong dấu bằng em sẽ xin đưa ra vài bài mà ko phương pháp nào giải nổi.Mấy bài đó em đầu tư thời gian đàng hoàng chứ ko phải bịa bừa như bài này đâu

Với bài này khi thì quả thật rất khó xác định dấu bằng xảy ra khi nào tuy nhiên chỉ đại một chỗ thì ko có vấn đề gì (như cách em đã làm), và như vậy cũng đủ để giải quyết trọn vẹn bài toán.
Đồng ý với anh là dấu bằng xảy ra rất lộn lộn, hi hi em bắt đầu thấy lí thú về các vấn đề của anh rồi đấy, ko biết anh còn có cách phát biểu nào khác khó và thú vị hơn ko, hi vọng từ đây sẽ sinh ra một trào lưu BDT mới
*PS: Xem ra mọi suy đoán lâu nay về BDT đối xứng đều bị đảo lộn cả rùi, điều này khá thú vị đấy vì em đã chán ngấy các p.p chứng minh cũ rồi, bài nào cũng dồn biến một phát là ra , S.O.S một phát là ra thấy mà phát bịnh, cỡ như bài này thì chết ngay lập tức , hi vọng sẽ có một p.p mới "cực mạnh" sắp được ra lò

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kimluan: 09-08-2006 - 16:20

[Bùi Việt Anh]

Kimluan khá quá!Em đã vượt lên trên các bạn cùng trang lứa về mặt đẳng cấp rồi đó!Đa số người cứ nhầm tưởng BDT đối xứng thì dấu bằng phải xảy ra khi có các biến bằng nhau.Đúng là em của anh hatucdao có khác.
Bài này tôi đặt ra vội quá nên ko xem xét kĩ càng được.Bài này để tìm ra đáp số thì rất dễ nhưng dấu bằng thì khó đến mức ko thể nào giải được.Ta chỉ có thể tìm dấu bằng với 1 số k cụ thể nào đó thôi.Với k=100 thì kết quả rất đẹp như kimluan đã trình bày.Kimluan thử tìm dấu bằng trong TH xem?
Để "bịa" ra 1 bài đối xứng nhưng dấu bằng xảy ra khi 3 biến khác nhau là ko khó nhưng mà số cách tạo ra thì rất bị hạn chế nên đối tượng của phương pháp này ko được rộng lắm.

[Bùi Việt Anh]

À!còn điều này cần phải nói.Đúng là có vô số dấu bằng xảy ra nhưng tỉ lệ giữa chúng thì chỉ có 1.Ví dụ như TH k=100 của kimluan sẽ là: a:b:c=1:2:3 .Điều này với các phương pháp đã trình bày khó lòng mà giải thích được,phương pháp của tôi thì giải thích ngon

[hungkhtn]

Xin lỗi VA nhé, nhưng đọc xong lời giải của Kim Luân thì mình lại thấy bài này khá bình thường, đơn giản nó chỉ là bài toán với 1 biến và cho số l bằng nào cũng được?

[pet1]

Cái Kimluan nói là hiểu nhiên mà có gì là đẳng cấp đâu ạ còn trình bày quá dài dòng là khác!
Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?cosA=cosB=cosC=\dfrac{1}{2}
Còn trường hợp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?cosA.cosB.cosC=\dfrac{1}{\sqrt{k}

Ý tưởng cách làm của em và Nesbit chắc là giống nhau ! Nhưng em thì xuất phát từ cái lượng giác ! Còn Nesbit thế nào em không biết .... Từ lượng giác có thể thấy ngay lập tức cái mà Kimluan nói mà chả cần xét gì .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pet1: 09-08-2006 - 18:05

[Vũ Đình Quý]

Hi,có anh Việt Anh và anh Hùng xuất hiện có khác!Chỉ trong tích tắc mà xuất hiện đồ sộ khối lượng thành viên thế này! Em xin góp 1 bài giải cho vui,nếu có dễ wa' anh em tha thứ:
Cho http://dientuvietnam...metex.cgi?a,b,c là các số thực CMR:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vũ Đình Quý: 09-08-2006 - 19:38

[Bùi Việt Anh]

Anh nói kimluan đẳng cấp ko phải vì lời giải,bài toán này thực ra tìm đáp số thì rất dễ mà;đẳng cấp ở chỗ ko sai lầm như hầu hết các bạn khác và nhận thấy cái sai của ABC.Xin tặng tất cả mọi người một bài khó hơn chút:
Cho CMR:

Cái điều kiện kia thật vô duyên nhỉ?nhưng nếu ko có nó thì bài toán sẽ khó hơn rất nhiều đó.Nếu giải quyết xong bài trên thì vứt quách cái đk đó đi để làm tiếp nhé!
Bài này chỉ hơi khó một chút thôi,đề bài trông tuy lẻ nhưng làm như vậy để bài toán dễ hơn đấy,nếu ra chẵn thì khó hơn rất nhiều .Vì một số lí do nên tôi sẽ dừng ở đây thôi,ko tiết lộ gì thêm được.Anh em thông cảm nhé!Cứ tiếp tục thảo luận vui vẻ bài trên đi!mức độ khó nâng dần lên rồi đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 09-08-2006 - 22:21

[Kimluan]

Cái Kimluan nói là hiểu nhiên mà có gì là đẳng cấp đâu ạ còn trình bày quá dài dòng là khác!
Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?cosA=cosB=cosC=\dfrac{1}{2}
Còn trường hợp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?cosA.cosB.cosC=\dfrac{1}{\sqrt{k}

Ý tưởng cách làm của em và Nesbit chắc là giống nhau ! Nhưng em thì xuất phát từ cái lượng giác ! Còn Nesbit thế nào em không biết ....  Từ lượng giác có thể thấy ngay lập tức cái mà Kimluan nói mà chả cần xét gì .

Vấn đề ở đây không phải là bài toán mà điều quan trọng là bài toán đó muốn nói lên cái gì, bài này rất dễ ai cũng thấy và làm được, tuy nhiên điều nó muốn nói là rất thú vị và đáng quan tâm.
Em có phỏng đoán thế này:
*Một BĐT đối xứng ba biến mà dấu bằng xảy ra lộn xộn thì chắc chắn tìm được một cách đặt(có thể phức tạp) để quy về bài toán đối xứng hai biến (và từ đây có thể quy về bài một biến).
*Một BĐT đối xứng ba biến mà dấu bằng xảy ra khi hai biến bằng nhau thì hoặc có cách đặt để đưa về bài đối xứng hai biến hoặc ko tồn tại một cách nào.

Không biết phỏng đoán này đúng không, mọi người thử chứng minh hoặc bác bỏ nó xem

*PS: Phỏng đoán này bị sai, đã có pvd bên dưới

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kimluan: 16-08-2006 - 07:11

[Kimluan]

Anh nói kimluan đẳng cấp ko phải vì lời giải,bài toán này thực ra tìm đáp số thì rất dễ mà;đẳng cấp ở chỗ ko sai lầm như hầu hết các bạn khác và nhận thấy cái sai của ABC.Xin tặng tất cả mọi người một bài khó hơn chút:
Cho CMR:

Cái điều kiện kia thật vô duyên nhỉ?nhưng nếu ko có nó thì bài toán sẽ khó hơn rất nhiều đó.Nếu giải quyết xong bài trên thì vứt quách cái đk đó đi để làm tiếp nhé!
Bài này chỉ hơi khó một chút thôi,đề bài trông tuy lẻ nhưng làm như vậy để bài toán dễ hơn đấy,nếu ra chẵn thì khó hơn rất nhiều .Vì một số lí do nên tôi sẽ dừng ở đây thôi,ko tiết lộ gì thêm được.Anh em thông cảm nhé!Cứ tiếp tục thảo luận vui vẻ bài trên đi!mức độ khó nâng dần lên rồi đấy

Chà mấy cái hằng số khiếp quá, còn cái đk chắc là xuất phát từ một bài lượng giác nào đó , anh bỏ quách cái đk và cho mấy cái hằng số đẹp đẹp một chút cho có vẻ đại số hơn đi, bài này nhìn đã thấy muốn sải rùi còn gì hứng để làm nữa

[Kimluan]

À!còn điều này cần phải nói.Đúng là có vô số dấu bằng xảy ra nhưng tỉ lệ giữa chúng thì chỉ có 1.Ví dụ như TH k=100 của kimluan sẽ là: a:b:c=1:2:3 .Điều này với các phương pháp đã trình bày khó lòng mà giải thích được,phương pháp của tôi thì giải thích ngon

em nghĩ rằng điều này ko đúng anh ạ, tất nhiên nếu (a,b,c)=(1,2,3) là một bộ dấu bằng xảy ra thì http://dientuvietnam...gi?(a_0,b_0,c_0) thỏa http://dientuvietnam...0:b_0:c_0=1:2:3 cũng là một bộ dấu bằng xảy ra. Tuy nhiên có rât nhiều những tỉ lệ như thế chứ ko phải 1 như anh nói.
Như k=100 thì như cách em đã chứng minh thì tồn tại một bộ b=c=1 và a bằng một cái gì đó(đã xác định) thuộc (0,1]

[Bùi Việt Anh]

Về việc có phải có một bộ số xảy ra dấu bằng ko thì anh cũng ko dám chắc lắm vì việc xác định với k bất kì là ko thể được,chỉ tùy từng TH của k thôi.Em thử tính toán lại với TH k=100 xem có đúng là tồn tại bộ số b=c=1,a=... ko?có thể nó chỉ tiến sát đến thôi thì sao?Muốn đề bài đẹp thì có ngay nhưng mà chỉ một bài này nữa thôi,còn lại sẽ được bàn sau:
Cho CMR:


P/S: Nếu bỏ đk kia đi thì khó lắm em ạ,giải quyết bài này trước đã .Nếu mà bài này bắt tìm min mà ko cho trước kết quả là 5 thì hơi bị đau đầu đấy nhỉ?
Tạm thời anh gợi mở đến đây thôi.Hi vọng vào lớp thế hệ tuổi trẻ tài cao như kimluan,Nesbit,Vũ Đình Quý,pet1...sẽ tìm ra được ẩn ý của anh và phát triển một phương pháp mới
@Lúc sáng gõ nhầm vế phải thành 6,giờ sửa lại thành 5 rồi đấy.
Kimluan:đúng như anh dự đoán!sau khi cho b=c=1 thì chỉ tính gần đúng được a .Khi cho b,c 2 giá trị bất kì cũng sẽ tính được a gần đúng 1 giá trị nào đó.Nhưng dấu bằng chỉnh xác thì chỉ xảy ra tại 1 bộ số duy nhất thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 10-08-2006 - 14:10

[Kimluan]

Về việc có phải có một bộ số xảy ra dấu bằng ko thì anh cũng ko dám chắc lắm vì việc xác định với k bất kì là ko thể được,chỉ tùy từng TH của k thôi.Em thử tính toán lại với TH k=100 xem có đúng là tồn tại bộ số b=c=1,a=... ko?có thể nó chỉ tiến sát đến thôi thì sao?Muốn đề bài đẹp thì có ngay nhưng mà chỉ một bài này nữa thôi,còn lại sẽ được bàn sau:
Cho CMR:


P/S: Nếu bỏ đk kia đi thì khó lắm em ạ,giải quyết bài này trước đã .Nếu mà bài này bắt tìm min mà ko cho trước kết quả là 5 thì hơi bị đau đầu đấy nhỉ?
Tạm thời anh gợi mở đến đây thôi.Hi vọng vào lớp thế hệ tuổi trẻ tài cao như kimluan,Nesbit,Vũ Đình Quý,pet1...sẽ tìm ra được ẩn ý của anh và phát triển một phương pháp mới
@Lúc sáng gõ nhầm vế phải thành 6,giờ sửa lại thành 5 rồi đấy.
Kimluan:đúng như anh dự đoán!sau khi cho b=c=1 thì chỉ tính gần đúng được a .Khi cho b,c 2 giá trị bất kì cũng sẽ tính được a gần đúng 1 giá trị nào đó.Nhưng dấu bằng chỉnh xác thì chỉ xảy ra tại 1 bộ số duy nhất thôi.

+Nếu bỏ đk thì BDT này có còn đúng ko hả anh, ý em là muốn thấy những bài đặc biệt hơn chứ bài có đk thì lâu nay vẫn biết rùi.
+Khi cho b=c=1 thì ta có thể tính được a cụ thể đấy (chỉ cần giải pt bậc hai là xong_xem bài post của em ở trên), em nghĩ chắc anh nhầm ở chỗ nào đó.

[Anh Cuong]

EM chắc là anh Việt Anh đã nhầm lẫn rồi!Dấu bằng ở bài trên vẫn xảy ra khiả biến bằng nhau vì đây là đa thức đối xứng bậc 3 nên theo định lí ABC thì đương nhiên 3 biến phải bằng nhau!
PS:Mà hình như mọi người đều bỏ quên pp ABC rồi thì phải!Mặc dù nó làm giảm đi độ thú vị của bài toán nhưng những bài này áp dụng ABC đều "trị" được cả!

Cái luật này ở đâu ra vậy bạn, ABC ngay từ đầu đã nói là ko đúng rồi mà cứ nhắc đi nhắc lại hoài. Đừng nói ba biến bằng nhau hai biến bằng nhau cũng chưa có gì để đảm bảo, bạn xem trường hợp riêng khi k=100 mình post ở bài viết trên thì khắc rõ.

Mình nghe nói trên này các bạn đã tìm ra lỗi sai trong định lý ABC, có bạn có hứng thú bàn tiếp với mình về vấn đề này ko ???

[Anh Cuong]

Mình cũng mạo muội có chút ý tưởng về bài anh Việt Anh mới post.Để điều kiện như vậy mới dui và mới lạ chứ ạ. Bị ràng buột trong một miền như vậy thì mình chưa xem xét kỹ có thể áp dụng ABC hay ko, nhưng mình nghĩ có thể là được, một mánh là đặt để đưa về cận dưới là 0. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất này cần tìm cận dưới của abc, nếu phát triển ABC để sử dụng trong đoạn bất kỳ thì rất tuyệt. Còn áp dụng trong miền thì đi đến kết quả sau:

PS: Anh Việt Anh mới nhắc khéo mình là ko có cận trên các bạn ạ, táy máy quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Anh Cuong: 10-08-2006 - 21:33

[Bùi Việt Anh]

Chết thật!Đầu có nghĩ nhiều thứ quá nên nhầm lẫn mất 1 chút.Cái đk đó ko bỏ được,bỏ thì đúng là nó ra kết quả cận dưới = 2 như Anh Cuong đã nói.Về 2 bài toán trên thì xin có một vài lưu ý với các bạn thế này:
1.Không thể làm chặt hơn
2.Không thể áp dụng các phương pháp CM BDT đã biết như các BDT cố điển,S.O.S,S.M.V...
3.Dấu bằng sẽ chỉ xảy ra tại 1 bộ số.Nếu thấy xuất hiện 2 bộ số thì phải xem xét kĩ lại vì xấp xỉ sẽ khác xa với chính xác.
Xin post thêm một bài dạng đó nữa để mọi người cùng làm:
Cho.CMR:

P/S: Mình có một số bài chỉ cần đk a,b,c>0 mà tất cả các phương pháp chính thức bó tay nhưng mình cũng ...bó tay.Vấn đề này mới nên mình cũng chưa nghiên cứu sâu được,chưa chắc đã nghiên cứu tiếp vì ko có thời gian.
Kimluan: TH k=100 thì anh ko biết thế nào nhưng mà 2 giá trị anh post lên thì chỉ tồn tại 1 bộ duy nhất.Em post dấu bằng thứ 2 với k=100 của em lên anh xem với.Vì việc tìm dấu bằng cho bài toán đó là quá phức tạp nên anh cũng ko lường trước được hết khả năng của nó.
@ À!Mà diễn đàn mình có một bạn gái đã có lời giải cho bài toán thứ 2 rồi đấy.Nhưng mình chưa được xem lời giải nên chưa biết đúng hay sai.Ạnh em đừng để thua chị em chứ .Mấy bài này cũng chưa khó,chỉ lạ thôi.Những cái hay còn ở phía sau

[Bùi Việt Anh]

Anh em vứt mấy bài tẹp nhẹp đã post ra khỏi đầu nhé!Lâu lắm rồi mới có đông anh em tụ tập trong 1 topic thế này nên tôi xin post luôn bài tổng quát.
Cho a,b,c>0 thỏa mãn đk : .CMR:
a.
b,

Comment:Nhìn vào bài toán bạn sẽ nhận ngay ra rằng với k nhỏ thì ta sẽ có một BDT thực sự ( VT>VP).Công việc của ta ngoài việc giải bài toán còn phải là tìm k để bài toán có dấu bằng xảy ra.Tôi sẽ làm công việc này giúp các bạn.
Câu a,Với k<20 ta sẽ có BDT thực sự.Với k 20 thì bắt đầu có dấu đẳng thức xảy ra.
Câu b,Với k<16 thì ta có BDT thực sự.Với k 16 bắt đầu có đẳng thức xảy ra.
Những bài toán tìm hằng số k tốt nhất luôn gây rất nhiều khó khăn cho chúng ta nhưng dần dần chúng cũng trở nên nhàm chán.Hai bài toán trên thực sự rất mới lạ,mới lạ ngay từ cái điều kiện ban đầu,mới lạ ở chỗ k ở đây là bất kì,mới lạ ở điểm xảy ra đẳng thức.Cái điều kiện trên là ko thể bỏ được.Như các bạn đã thấy ở bài toán đầu tiên của topic,không có điều kiện gì đã làm cho không thể tìm được dấu bằng trong TH tổng quát.
Vui 1 chút: Đứng trước 2 bài toán trên bạn như đang đứng giữa sa mạc mà ko có la bàn.Nếu ko tìm thấy được phương hướng sớm chắc chắn bạn sẽ bỏ mạng vì thiếu nước.Còn như khi tìm ra phương hướng rồi thì chỉ việc thẳng tiến mà ko có bấ kì 1 trở ngại nào cả.Tiếp theo mấy bài này sẽ là một bài mà các bạn như bị lạc vào rừng rậm.Dù có xác định được phương hướng thì cũng rất dễ bị thú dữ ăn thịt .Mấy lời trên tuy là đùa nhưng mang tính triết lí cao.Hi vọng các bạn tham gia tích cực bài toán này vì những cái hay còn ở đằng sau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bùi Việt Anh: 11-08-2006 - 08:58

[hungkhtn]

Bài này liệu có đặc sắc hơn ko?

[Bùi Việt Anh]

Tôi chưa làm thử bài của anh bạn(và có lẽ cũng ko làm)nên ko biết độ khó thế nào nhưng nhìn lướt qua thấy đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 (ko biết có còn bộ số nào nữa ko) đã thấy phát chán rồi.Tin chắc với dạng này thì xoay sở kiểu gì cũng sẽ có lời giải bằng nhưng phương pháp đã biết.Thế nên về độ đặc sắc thì kém xa mấy bài của tôi.Đấy là ý kiến của tôi.Những người khác thử cho ý kiến xem?