Chủ đề này có 1 trả lời

[truongphat266]

Cho dãy $(u_n)$ thỏa $lim$$u_n=0$. Chứng minh rằng: $S_n=\sum_{i=1}^{n}\left | 1-\frac{u_{i+1}}{u_i} \right |$ phân kì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 24-10-2023 - 05:46

[poset]

Lời giải

Cho dãy $(u_n)$ thỏa $lim$$u_n=0$. Chứng minh rằng: $S_n=\sum_{i=1}^{n}\left | 1-\frac{u_{i+1}}{u_i} \right |$ phân kì.

Thêm điều kiện $u_n\neq 0,\forall n\in\mathbb{N}$ nữa. Đặt $c=1-\frac{1}{e}$, ta có $0<c<1$.

Bổ đề

$x\geq -c.ln(1-x),\forall x\in[0,c]$.

Chứng minh

Xét hàm $f(x)=x+c.ln(1-x)$ trên $[0,c]$. Ta có $f''(x)=\frac{c}{(1-x)^2}>0,\forall x\in[0,c]$, vậy $f$ là hàm lồi trên $[0,c]$ nên nhận giá trị nhỏ nhất tại biên, tại $x=0,x=c$ ta có $f=0$ nên $f(x)\geq 0\Rightarrow x\geq -c.ln(1-x),\forall x\in[0,c]$.

Đặt $v_n=1-\frac{u_{n+1}}{u_n}$ thì $u_{n+1}=u_m\prod_{i=m}^n(1-v_i)$ và $S_n=\sum_{i=1}^n|v_n|$. Giả sử $S_n$ hội tụ thì $\lim|v_n|=0$, từ đó chọn được $N$ sao cho $\forall n\geq N, |v_n|\leq c<1$, khi đó $1-v_n>0,\forall n\geq N$, từ đó bằng quy nạp ta dễ thấy $u_n$ cùng dấu với $u_N$ với mọi $n\geq N$. Theo Theorem ta có:
$S_n=\sum_{i=1}^n|v_n|=S_{N-1}+\sum_{i=N}^n|v_n|\geq S_{N-1}-c\sum_{i=N}^{n}ln(1-|v_n|)\geq S_{N-1}-c\sum_{i=N}^{n}ln(1-v_n)=S_{N-1}-c.ln\prod_{i=N}^{n}(1-v_n)=S_{N-1}-c.ln\frac{u_{n+1}}{u_N},\forall n\geq N$
Vì $u_n$ cùng dấu với $u_N$, $\lim u_n=0$ và $u_n\neq 0$ với $n\geq N$ nên:
$\frac{u_n}{u_N}>0,\lim\frac{u_n}{u_N}=0\Rightarrow \lim ln\frac{u_{n+1}}{u_N}=-\infty\Rightarrow\lim S_n\geq\lim\left ( S_{N-1}-c.ln\frac{u_{n+1}}{u_N}\right )=+\infty$ hay $S_n$ phân kỳ, mâu thuẫn với giả sử. Vậy $S_n$ phân kỳ.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 28-10-2023 - 00:01