Chủ đề này có 3 trả lời

[giappkk]

Câu 1: Cho $x_{0}=1,x_{1}=\frac{1}{2},x_{n+2}=\frac{x_{n+1}.x_{n}}{2002x_{n+1}+2001x_{n}+2000x_{n+1}.x_{n}}$.

Câu 2: Cho $x_{0}=1,x_{1}=2;x_{n+2}=x_{n+1}^{2}.x_{n}^{3}$.

Câu 3: Cho $x_{1}=4,x_{n+1}=\frac{1}{9}(x_{n}+4+4\sqrt{1+2u_{n}})$.

Câu 4: Cho $x_{1}=6,x_{n+1}=x_{n}^{2}-6x_{n}+12$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giappkk: 30-10-2023 - 21:51

[Thegooobs]

Câu 4: 

Ta có: $x_{n+1}=(x_n-3)^2+3$

Đặt $x_n=v_n+3 \Rightarrow x_{n+1}=v_{n+1}+3$

$\Rightarrow v_{n+1}=v_n^2$

Bằng quy nạp ta có:

$v_n=v_1^{2^{n-1}}$

và $v_1=x_1-3=3$

nên $v_n=3^{2^{n-1}}$

Vậy $x_n=3^{2^{n-1}}+3=(\sqrt{3})^{2^n}+3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 30-10-2023 - 21:14

[nhutduy27]

Câu 3 $\sqrt{1+2u_{n}}$ phải là $\sqrt{1+2x_{n}}$ chứ nhỉ?
 

Đặt $v_{n}=\sqrt{1+2x_{n}}\Rightarrow x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( v_{n+1}^{2}-1 \right )$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\left ( v_{n+1}^{2}-1 \right )=\frac{1}{9}\left ( \frac{1}{2}\left ( v_{n}^{2}-1 \right ) +4+4v_{n} \right )$

$\Leftrightarrow 9v_{n+1}^{2}=\left ( v_{n}+4 \right )^{2}\Rightarrow v_{n+1}=\frac{v_{n}}{3}+\frac{4}{3}\Leftrightarrow v_{n+1}-2=\frac{1}{3}\left ( v_{n}-2 \right )$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $v_{n}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}\left ( v_{1}-2 \right )+2$

Mà $v_{1}=\sqrt{1+2x_{1}}=\sqrt{9}=3\Rightarrow v_{n}=\left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}+2$

$\Rightarrow x_n=\frac{1}{2}\left [ \left ( \left ( \frac{1}{3} \right )^{n-1}+2 \right )^{2} -1\right ]=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{3^{2n-2}}+\frac{4}{3^{n-1}}+3 \right )$

 

P/S: Mới vào diễn đàn không biết gõ LaTeX:(

[nhutduy27]

Câu 1: Từ công thức truy hồi ta được: $\frac{1}{x_{n+2}}=\frac{2001}{x_{n+1}}+\frac{2002}{x_{n}}+2000$

Đặt $u_{n}=\frac{1}{x_{n}} \Rightarrow u_{n+2}-2001u_{n+1}-2002u_{n}=2000$

Phân tích $2000=-\frac{1000}{2001}+2001.\frac{1000}{2001}+2002.\frac{1000}{2001}$

$\Rightarrow \left ( u_{n+2}+\frac{1000}{2001} \right )-2001\left ( u_{n+1}+\frac{1000}{2001} \right )-2002\left ( u_{n}+\frac{1000}{2001} \right )=0$

Tiếp tục đặt $v_{n}=u_{n}+\frac{1000}{2001}\Rightarrow v_{n+2}-2001v_{n+1}-2002v_{n}=0$

Phương trình đặt trưng $x^{2}-2001x-2002=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}=2002;x_{2}=-1\Rightarrow v_{n}=kx_{1}^{n}+lx_{2}^{n}$ với $k,l$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} k+l=v_{0}\\ kx_{1}+lx_{2}=v_{1} \end{matrix}\right.$

Mà $v_{0}=\frac{1}{x_{0}}+\frac{1000}{2001}=1+\frac{1000}{2001};v_{1}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1000}{2001}=2+\frac{1000}{2001}\Rightarrow k=\frac{1}{2003}\left ( 3+\frac{2000}{2001} \right );l=\frac{3000}{2003}$

$\Rightarrow x_{n}=\left [ \left ( 3+\frac{2000}{2001} \right )\frac{2002^{n}}{2003}+\left ( -1 \right )^{n}\frac{3000}{2003}-\frac{1000}{2001} \right ]^{-1}$