Chủ đề này có 2 trả lời

[Princess3107]

Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa ab+bc+ca=1. CMR: $1< \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \le 2$

[1problemperday]

\displaystyle 1< \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \le 2

[1problemperday]

       $\displaystyle 1< \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}$ 
       $\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca+2(a+b+c)+3}{abc+ab+bc+ca+a+b+c+1}>1$
       $\Leftrightarrow \frac{4+2(a+b+c)}{abc+a+b+c+2}>1$
       $\Leftrightarrow 2+a+b+c>abc$
mà $1=ab+bc+ca>\sqrt[3]{abc} \Leftrightarrow \frac{1}{27} > abc$
$2+a+b+c>2>\frac{1}{27}>abc$ (đpcm)

     $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \le 2$
        $\Leftrightarrow \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} +\frac{c}{c+1}\geq 1$
         $\Leftrightarrow 3abc+2(ab+bc+ca)+a+b+c\geq abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$
          $\Leftrightarrow 2abc+ab +bc+ca \geq 1$
mà $ab+bc+ca=1,2abc\geq 0$
$\Rightarrow $ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-11-2023 - 03:23