$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$. Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$
#1
Đã gửi 24-11-2023 - 20:56
$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$
$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$
#2
Đã gửi 24-11-2023 - 21:35
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;1]$ và thỏa mãn điều kiện:$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$.Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$
Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-11-2023 - 21:46
- Saturina yêu thích
#3
Đã gửi 24-11-2023 - 22:50
Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?
Em biết đáp án bài này nhưng mà không biết giải như nào ạ
Đáp án là $\frac{3\pi}{4}$
$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$
$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$
#4
Đã gửi 24-11-2023 - 23:53
Bằng quy nạp, ta chứng minh được đẳng thức sau với mọi số tự nhiên $N \geq 1$,
$$f(x) = \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1 - x^{2^k}} + x^{2^{N+1}-2}f(x^{2^N}).$$
Như vậy nếu $\left |x \right | <1$ thì ta có (bằng tính liên tục)
$$f(x) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1-x^{2^k}}.$$
Do hàm $f(x)$ có tính đối xứng $f(x)=f(-x)$ nên ta có thể giả sử $x \in (0,1)$. Cố định $x$ như vậy, ta thấy
$$f(x) \leq \lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N x^{2^k-2} \leq \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^k = \frac{1}{1- x}$$
và do đó hội tụ điểm.
Tuy nhiên mình không biết là hàm $f(x)$ có liên tục không và $f(1)$ là bao nhiêu.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 25-11-2023 - 00:35
- vo van duc và Saturina thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tích phân, giải tích, toán cao cấp
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x.(e^{x^3}-e^{-x^3})}}$Bắt đầu bởi Lyua My, 27-01-2024 giải tích, tích phân |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Cho $x = r\cos(a)$ và $y = r\sin(a)$. Chứng minh $dx.dy = rdr.da$Bắt đầu bởi Explorer, 11-01-2024 giải tích, hệ tọa độ cực, hàm số và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\frac{{\mathrm{d} x}}{x+1}$Bắt đầu bởi Thanh Lam 1514, 25-12-2023 giải tích, nguyên hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tài liệu và chuyên đề Giải tích →
$\int_{0}^{1}(f'(x))^{2}=\int_{0}^{1}(x+1)e^{x}f(x)dx=\frac{e^{2}-1}{4}$Bắt đầu bởi Explorer, 01-12-2023 giải tích, hàm số, đạo hàm và . |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
CMR hàm số f(x) đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn.Bắt đầu bởi Explorer, 29-11-2023 giới hạn, điểm gián đoạn và . |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh