Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Chứng minh rằng hàm số $f(x)$ đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn. Ngoài ra, nếu $f(x)$ đơn điệu trên $[a,b]$ thì có thể tồn tại $t$ thuộc $[a,b]$ sao cho $t$ là điểm gián đoạn loại I hoặc $t$ là điểm gián đoạn loại II hoặc $t$ là điểm gián đoạn bỏ được hay không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-12-2023 - 00:41

[bangbang1412]

Bài toán này không đúng, ta chỉ có thể mong rằng $f$ có một số đếm được các điểm gián đoạn. Bạn có thể xem các ví dụ ở đây.

 

Nếu $x_0$ là một điểm gián đoạn thì

$$f(x_0^-) =  \lim_{x \to x_0^-}f(x) < \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0^+)$$

và ta có thể chọn một số hữu tỷ $a_x \in (f(x^-_0),f(x^+_0))$. Do tính đơn điệu nên tất cả các đoạn $(f(x^-_0),f(x^+_0))$ đều rời nhau. Ánh xạ

$$x \longmapsto a_x \in \mathbb{Q}$$

định nghĩa tốt và là một đơn ánh. Chứng tỏ rằng chỉ có đếm được điểm gián đoạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-12-2023 - 00:39