Đến nội dung

Hình ảnh

$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$. Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$

* * * * * 1 Bình chọn
Bắt đầu bởi Saturina, 24-11-2023 - 20:56
tích phân giải tích toán cao cấp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Saturina
Đã gửi 24-11-2023 - 20:56

Saturina

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;1]$ và thỏa mãn điều kiện: 
 
$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$.
 
Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$

$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :( :( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 

#2
vo van duc
Đã gửi 24-11-2023 - 21:35

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

 

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;1]$ và thỏa mãn điều kiện: 
 
$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$.
 
Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$

 

 

Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-11-2023 - 21:46

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 

#3
Saturina
Đã gửi 24-11-2023 - 22:50

Saturina

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?

Em biết đáp án bài này nhưng mà không biết giải như nào ạ
Đáp án là $\frac{3\pi}{4}$


$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :( :( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 

#4
bangbang1412
Đã gửi 24-11-2023 - 23:53

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1670 Bài viết

Bằng quy nạp, ta chứng minh được đẳng thức sau với mọi số tự nhiên $N \geq 1$,

$$f(x) = \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1 - x^{2^k}} + x^{2^{N+1}-2}f(x^{2^N}).$$

Như vậy nếu $\left |x \right | <1$ thì ta có (bằng tính liên tục)

$$f(x) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1-x^{2^k}}.$$

Do hàm $f(x)$ có tính đối xứng $f(x)=f(-x)$ nên ta có thể giả sử $x \in (0,1)$. Cố định $x$ như vậy, ta thấy

$$f(x) \leq \lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N x^{2^k-2} \leq  \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^k = \frac{1}{1- x}$$

và do đó hội tụ điểm.

 

Tuy nhiên mình không biết là hàm $f(x)$ có liên tục không và $f(1)$ là bao nhiêu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 25-11-2023 - 00:35

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$

Trở lại Tích phân - Nguyên hàm



Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tích phân, giải tích, toán cao cấp

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học
  3. → Giải tích
  4. → Tích phân - Nguyên hàm