Chủ đề này có 1 trả lời

[ninhbinhk8]

Tìm tất cả hàm số f : $\mathbb{R^{+}}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y),\forall x,y>0$

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả hàm số f : $\mathbb{R^{+}}$ $\rightarrow$ $\mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y),\forall x,y>0$

Nếu tồn tại số dương $k$ sao cho $f(k)<k$ thì ta thay $x:=k-f(k)$ và $y:=k$ sẽ thấy ngay vô lí, do vậy

\[f(x)\ge x,\quad \forall x>0.\tag{1}\]

Cố định số dương $y_0$, thay $x:=x-y_0$ và $y:=y_0$ ta có $f\big(x+f(y_0)-y_0\big)=f(x)+f(y_0)$ với mọi $x>y_0$. Như vậy ta có kết quả

\[f(x+a)=f(x)+b,\quad \forall x>y_0\tag{2}\]

với $a=f(y_0)-y_0$ và $b=f(y_0)$ là các hằng số.

Thay $y:=y+a$ vào giả thiết ta có

\[f(x+f(y)+b)=f(x+y+a)+f(y)+b,\quad \forall y>y_0.\tag{3}\]

Tiếp theo thay $x:=x+b$ vào giả thiết ta có

\[f(x+f(y)+b)=f(x+y+b)+f(y).\tag{4}\]

Từ $(3)$ và $(4)$ thu được

\[f(x+y+b)=f(x+y+a)+b\overset{(2)}{=}f(x+y+2a),\quad \forall y>y_0.\]

Do đó tồn tại hằng số $T=|2a-b|\ge 0$ sao cho

\[f(x)=f(x+T),\quad \forall x>c\]

với $c$ là hằng số nào đó. Như vậy với $n$ là số nguyên dương bất kì ta có

\[f(x)=f(x+nT)\overset{(1)}{\ge} x+nT.\]

Nếu $T$ dương thì từ bất đẳng thức trên dễ thấy vô lí khi cố định $x$ và cho $n\to \infty$. Vậy $T=0$, do đó

\[2a=b\implies 2(f(y_0)-y_0)=f(y_0)\implies f(y_0)=2y_0.\]

Thử lại thì hàm $f(x)\equiv 2x$ thỏa đề.

 

 

Ghi chú. Gần đây dạng PTH trên $\mathbb{R}^+$ với tính chất $f(x+a)=f(x)+b$ như trên được xử lí khá triệt để, bài toán này vốn nằm trong IMO Shortlist 2007 là một ví dụ điển hình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-12-2023 - 19:59