Chủ đề này có 1 trả lời

[nhutduy27]

Cho đa thức $P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}$ có $degP(x)\geq 2$ và có các nghiệm là $b_{1},b_{2},...,b_{n}$. Chứng minh rằng: nếu $x> b_{i}$ với $i=1,2,...n$ thì

$$P(x+1)\left ( \frac{1}{x-b_{1}}+\frac{1}{x-b_{2}}+...+\frac{1}{x-b_{n}} \right )\geq 2n^{2}$$

[hovutenha]

Đây là lời giải của bạn Phạm Ngọc Thắng (học sinh THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương), mình đăng lên đây cho bạn tham khảo

Trước hết ta đặt:

$$P(x)=(x-b_1)(x-b_2)...(x-b_n)$$

Áp dụng bất đẳng thức $cosi$ ta có:

$$x+1-b_i=x-b_i +(n-1).\frac{1}{n-1} \geq n. \sqrt[n]{\frac{x-b_i}{(n-1)^{n-1}}}$$

$$\sum \frac{1}{x-b_i}  \geq  \sqrt[n]{\frac{1}{\prod (x-b_i)}}$$

Suy ra:

$$LHS \geq \prod\left (n. \sqrt[n]{\frac{x-b_i}{(n-1)^{n-1}}}\right ). \sqrt[n]{\frac{1}{\prod (x-b_i)}} = \frac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}}=n^2\left ( 1+\frac{1}{n-1} \right )^{n-1} \geq 2n^2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 21-01-2024 - 21:48