[Đề thi vô địch toàn Liên Xô – lớp 8, năm 1978]
Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào thì $1978^{n} – 1$ không thể chia hết cho $1000^{n} – 1$.
Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào thì $1978^{n} – 1$ không thể chia hết cho $1000^{n} – 1$.
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi thvn, 08-01-2024 - 09:38
#2
Đã gửi 14-01-2024 - 04:08
Konstante
-
- Thành viên
-
- 103 Bài viết
Trung sĩ
Bài này có thể sử dụng bổ đề LTE (mình chưa nghĩ ra cách nào khác): $$\begin{align*}\nu_3(1000^n - 1) &= \nu_3(999) + \nu_3(n) = 3 + \nu_3(n) \\ \nu_3(1978^n-1) &= \nu_3(1977) + \nu_3(n) = 1 + \nu_3(n)\end{align*}$$Do vậy $\nu_3(1000^n - 1) > \nu_3(1978^n - 1)$, kéo theo $(1000^n - 1) \not\mid (1978^n - 1)$.
- thvn yêu thích
#3
Đã gửi 15-01-2024 - 20:04
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 678 Bài viết
Thiếu úy
[Đề thi vô địch toàn Liên Xô – lớp 8, năm 1978]
Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào thì $1978^{n} – 1$ không thể chia hết cho $1000^{n} – 1$.
Bài dành cho lớp nhỏ cũng như đã khá lâu nên chắc hẳn chỉ cần những kiến thức cơ bản nhất.
Giả sử tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $1000^n-1$ là ước của $1978^n-1$. Như vậy $1000^n-1$ cũng là ước của
\[(1978^n-1)-(1000^n-1)=2^n(989^n-500^n).\]
Vì $1000^n-1$ lẻ nên
\[1000^n-1\mid 989^n-500^n\implies 1000^n-1\le 989^n-500^n.\]
Từ đây ta có mâu thuẫn.
- perfectstrong, thvn, Konstante và 1 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
