[Đề thi vô địch toàn Liên Xô – lớp 8, năm 1978]
Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào thì $1978^{n} – 1$ không thể chia hết cho $1000^{n} – 1$.
[Đề thi vô địch toàn Liên Xô – lớp 8, năm 1978]
Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào thì $1978^{n} – 1$ không thể chia hết cho $1000^{n} – 1$.
N.K.S - Learning from learners!
Bài này có thể sử dụng bổ đề LTE (mình chưa nghĩ ra cách nào khác): $$\begin{align*}\nu_3(1000^n - 1) &= \nu_3(999) + \nu_3(n) = 3 + \nu_3(n) \\ \nu_3(1978^n-1) &= \nu_3(1977) + \nu_3(n) = 1 + \nu_3(n)\end{align*}$$Do vậy $\nu_3(1000^n - 1) > \nu_3(1978^n - 1)$, kéo theo $(1000^n - 1) \not\mid (1978^n - 1)$.
[Đề thi vô địch toàn Liên Xô – lớp 8, năm 1978]
Chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên n nào thì $1978^{n} – 1$ không thể chia hết cho $1000^{n} – 1$.
Bài dành cho lớp nhỏ cũng như đã khá lâu nên chắc hẳn chỉ cần những kiến thức cơ bản nhất.
Giả sử tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $1000^n-1$ là ước của $1978^n-1$. Như vậy $1000^n-1$ cũng là ước của
\[(1978^n-1)-(1000^n-1)=2^n(989^n-500^n).\]
Vì $1000^n-1$ lẻ nên
\[1000^n-1\mid 989^n-500^n\implies 1000^n-1\le 989^n-500^n.\]
Từ đây ta có mâu thuẫn.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh